核心结论：老人未经子女同意擅自出售子女农田的行为，可能涉及无权处分和侵权问题，子女可通过法律途径主张权利。具体处理方式需结合农田权属、交易情况等因素综合判断，以下是详细分析：

1. 确认农田权属是关键前提

• 若农田登记在子女名下：根据《民法典》第209条，不动产物权以登记为准。老人未经子女同意出售，属于无权处分，子女可主张合同无效或要求买方返还农田（若买方非善意取得）。
• 若农田登记在老人名下但实际由子女承包经营：需区分情况：
  • 家庭承包地：根据《农村土地承包法》第16条，家庭承包的承包方是本集体经济组织的农户，老人作为户主可能有权处分，但若子女能证明实际承包经营权归属（如承包合同、经营记录等），仍可主张权益。
  • 其他方式承包地：若子女通过招标、拍卖、公开协商等方式承包，且承包合同明确权属，老人无权处分，子女可依法维权。

2. 交易买方是否构成善意取得

• 若买方明知或应知老人无权处分（如子女曾公开反对交易、农田权属证明在子女处等），子女可主张合同无效，要求买方返还农田。
• 若买方善意、支付合理对价并已办理登记：根据《民法典》第311条，买方可能构成善意取得，子女无法直接要求返还农田，但可向老人主张侵权赔偿（如农田价值损失、经营收益损失等）。

3. 子女可采取的法律行动

• 协商解决：与老人、买方沟通，要求撤销交易或补偿损失（适合家庭关系尚可的情况）。
• 行政投诉：若交易涉及违规操作（如未履行审批程序、低价转让等），可向当地农业农村部门或自然资源部门举报。
• 民事诉讼：
  • 确认合同无效：以老人无权处分为由，起诉要求法院认定买卖合同无效。
  • 主张侵权赔偿：若农田已被买方占有，可起诉老人赔偿损失（需提供农田价值评估、经营收益证明等证据）。

4. 特殊情形提示

• 老人行为能力问题：若老人出售农田时已丧失民事行为能力（如患老年痴呆），子女可申请法院认定交易无效，但需提供医学证明等证据。
• 赡养义务关联：若老人以出售农田为由威胁子女履行赡养义务，子女可依法主张赡养与财产处分无关，但需注意保留相关证据（如录音、聊天记录等）。

行动建议：子女应尽快收集农田权属证明（如承包合同、土地证）、交易证据（如买卖合同、付款记录）及老人行为能力证明（如需），并咨询专业律师制定具体维权方案。若涉及复杂权属或大额交易，建议优先通过诉讼途径明确权属，避免损失扩大。