结论：针对“未签合同公司高管同城开同行店是否可以让他关掉”的问题，这并非一个简单的“可以”或“不可以”的判断，而是需要依据具体情况，从多个法律角度进行分析。
分析角度一：劳动合同或劳务合同的约束
若存在事实劳动关系：
- 即便未签订书面劳动合同，根据《劳动合同法》的相关规定，事实劳动关系同样受法律保护。
- 如果公司高管的职位、职责以及公司规章制度中明确规定了竞业限制或禁止在职期间从事与公司业务相竞争的活动，那么高管的行为可能构成违约。
- 在此情况下，公司有权要求高管停止违规行为，并可能依据法律规定或公司规章制度追究其违约责任。
若不存在事实劳动关系或劳务关系不明确：
- 如果高管与公司之间并未形成事实上的劳动关系，或者劳务关系的内容、范围不明确，那么公司要求高管关店的法律依据将相对薄弱。
- 此时，公司可能需要通过其他法律途径，如侵权责任诉讼等，来维护自身权益。
分析角度二：竞业限制协议的效力
若签订了竞业限制协议：
- 如果高管与公司签订了有效的竞业限制协议，并且协议中明确规定了在职期间及离职后的竞业限制义务，那么高管的行为显然违反了协议约定。
- 公司有权依据竞业限制协议要求高管停止违规行为，并可能要求其支付违约金或赔偿损失。
若未签订竞业限制协议：
- 在没有竞业限制协议的情况下，公司要求高管关店的法律依据将主要依赖于劳动合同或劳务合同中的相关条款（如果存在的话）以及相关法律法规的规定。
- 如果相关法律法规或合同条款并未明确禁止高管从事与公司业务相竞争的活动，那么公司的要求可能难以得到法律支持。
分析角度三：不正当竞争与商业秘密保护
若高管的行为构成不正当竞争：
- 如果高管利用其在公司任职期间获得的商业秘密、客户信息等资源来开设同行店铺，并因此对公司造成了经济损失或商业信誉损害，那么高管的行为可能构成不正当竞争。
- 在此情况下，公司有权依据《反不正当竞争法》等相关法律法规要求高管停止违规行为，并可能要求其赔偿损失。
若高管未侵犯公司商业秘密：
- 如果高管并未利用其在公司任职期间获得的任何商业秘密或资源来开设同行店铺，而是完全依靠自己的资金、技术和市场渠道等独立开展业务，那么公司的要求可能难以构成不正当竞争的指控。
建议与行动指南：
- 审查合同与规章制度：首先，公司应仔细审查与高管签订的劳动合同、劳务合同以及公司规章制度中是否包含竞业限制、禁止在职期间从事与公司业务相竞争的活动等条款。
- 收集证据：如果公司认为高管的行为违反了相关约定或法律法规，应尽快收集相关证据，如高管开设同行店铺的证明、利用公司资源或商业秘密的证据等。
- 法律咨询与诉讼：在收集到足够证据后，公司应咨询专业律师（如我，尹振律师，专注于合同纠纷、经济纠纷领域），评估法律风险和诉讼可行性，并根据律师建议采取相应的法律行动。
后续思考：
- 公司在与高管签订劳动合同时，应明确约定竞业限制、保密义务等条款，以降低未来可能出现的法律风险。
- 公司应建立健全的内部管理制度和监督机制，及时发现并制止高管等关键岗位人员的违规行为。
- 在处理此类纠纷时，公司应注重证据的收集和保存工作，以确保在法律诉讼中能够提供有力的支持。
如有任何进一步的问题或需要法律帮助，请直接向我咨询。