持刀故意伤人后，在符合法定拘留条件的情况下，公安机关可以立即对嫌疑人进行拘留。具体来说，拘留的时机和条件主要依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，以下从多个角度为你详细分析：

一、拘留的法定条件

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十二条，公安机关对于现行犯或者重大嫌疑分子，如果有下列情形之一的，可以先行拘留：

1. 正在预备犯罪、实行犯罪或者在犯罪后即时被发觉的：如果持刀故意伤人的行为被当场发现，或者嫌疑人正在预备伤人行为时被发觉，公安机关可以立即拘留。

2. 被害人或者在场亲眼看见的人指认他犯罪的：如果有目击者指认嫌疑人持刀伤人，且证据确凿，公安机关也可以对嫌疑人进行拘留。

3. 在身边或者住处发现有犯罪证据的：如果公安机关在嫌疑人的身边或住处发现了与持刀伤人案件相关的证据，如凶器、血迹等，也可以作为拘留的依据。

4. 犯罪后企图自杀、逃跑或者在逃的：如果嫌疑人在伤人后企图自杀、逃跑或已经在逃，公安机关为了防止其逃避法律制裁，可以立即进行拘留。

5. 有毁灭、伪造证据或者串供可能的：如果公安机关认为嫌疑人有毁灭、伪造证据或串供的可能，为了保护案件证据的完整性和真实性，也可以对嫌疑人进行拘留。

6. 不讲真实姓名、住址，身份不明的：如果嫌疑人拒绝透露自己的真实姓名和住址，导致身份无法查明，公安机关为了推进案件调查，也可以对其进行拘留。

7. 有流窜作案、多次作案、结伙作案重大嫌疑的：如果嫌疑人涉嫌流窜作案、多次作案或结伙作案，且持刀伤人行为符合这些特征，公安机关也可以根据此条款进行拘留。

二、拘留的程序

1. 决定拘留：公安机关在发现符合拘留条件的情形后，会作出拘留决定，并出具拘留证。

2. 执行拘留：公安机关会持拘留证对嫌疑人进行拘留，并将其送往看守所羁押。在拘留过程中，公安机关会立即对嫌疑人进行讯问，以进一步了解案件情况。

3. 通知家属：公安机关在拘留嫌疑人后，会在24小时内通知其家属，除非无法通知或涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形。

三、拘留后的法律程序

1. 提请批捕：公安机关在拘留嫌疑人后，会在一定期限内（一般为3日，特殊情况下可延长至7日或30日）提请人民检察院审查批准逮捕。

2. 审查批捕：人民检察院会对公安机关提请批捕的案件进行审查，决定是否批准逮捕。如果批准逮捕，嫌疑人将继续被羁押；如果不批准逮捕，公安机关会立即释放嫌疑人，并可能采取其他强制措施。

四、实际案例与法律建议

在实际案例中，持刀故意伤人的行为往往伴随着严重的后果，如被害人受伤甚至死亡。因此，公安机关在接到报案后，会迅速展开调查，并在符合法定条件的情况下对嫌疑人进行拘留。

法律建议：

• 如果你或你身边的人涉嫌持刀故意伤人，建议尽快向公安机关自首，并积极配合调查。自首和配合调查是减轻法律责任的重要途径。
• 在拘留期间，嫌疑人有权委托律师进行辩护。律师会为你提供法律咨询、代理申诉、控告等法律服务，以维护你的合法权益。
• 如果你对拘留决定有异议，可以在拘留期间向公安机关提出申诉或向人民检察院申请羁押必要性审查。

总之，持刀故意伤人后，在符合法定拘留条件的情况下，公安机关可以立即对嫌疑人进行拘留。如果你有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。