结论：没有合同短租一个月并不违法，但可能带来一些法律风险和纠纷。为保护双方权益，建议尽量签订书面租赁合同。

详细分析：

1. 租赁合同的形式要求：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第七百零七条的规定，租赁期限六个月以上的，应当采用书面形式。然而，对于租赁期限不满六个月的情况，法律并未强制要求必须签订书面租赁合同。因此，在您所描述的短租一个月的情形下，房东不与租客签订书面合同是符合法律规定的。

2. 口头合同的效力：

   • 即使没有书面合同，口头合同在法律上也是有效的。只要双方就租赁事宜达成一致意见，口头合同即成立并产生法律效力。但口头合同在举证和维权方面可能存在困难，因为缺乏书面证据来明确双方的权利和义务。

3. 未签订书面合同的法律风险：

   • 尽管未签订书面租赁合同并不直接构成违法，但它可能会带来一定的法律风险和纠纷。例如，如果双方对租赁期限、租金支付方式、房屋使用状况等重要事项存在争议，由于没有书面合同作为依据，可能难以举证和维权。
   • 此外，如果因为缺乏书面证据而导致无法确定租赁期限等关键条款，法院在处理此类纠纷时可能会依据相关法律规定和现有证据来判定双方的责任和权益，这可能导致双方的实际利益受损。

4. 房东的其他法律责任：

   • 即使未签订书面租赁合同，房东在出租房屋时也应当遵守相关的法律法规。例如，房东需要确保房屋的安全性和居住标准，按照约定收取租金，并履行其他作为出租人的义务。如果房东违反了相关法律法规或双方的口头约定（如果能被证明），那么也可能会承担相应的法律责任。

建议：

• 签订书面合同：为了保护双方的合法权益和避免潜在的麻烦，建议在租赁房屋时尽量签订书面的租赁合同，并明确约定各项条款和内容。这样不仅可以为双方提供明确的法律依据和保障，还可以减少因缺乏书面证据而导致的争议和损失。
• 保留证据：如果确实无法签订书面合同，建议双方通过其他方式保留证据，如聊天记录、转账记录等，以便在发生争议时能够证明双方的权利和义务。
• 及时沟通：在租赁期间，双方应保持及时沟通，就租赁事宜进行协商和解决，避免因为沟通不畅而导致的纠纷。

如果您在租赁过程中遇到任何法律问题或纠纷，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。