关于双方打架致同一人牙齿被打掉一颗、一个手指坏死是否构成轻伤的问题，结论如下：

1. 牙齿被打掉一颗的伤情鉴定

   • 根据《人体损伤程度鉴定标准》，牙齿脱落或牙折2枚以上通常构成轻伤二级。而单纯打掉一颗牙齿，一般被认定为轻微伤。这包括牙齿脱落、缺损，牙槽突骨折，以及牙齿松动2枚以上或Ⅲ度松动1枚以上等情形。因此，从法律角度讲，打架打掉一颗牙齿通常属于轻微伤范畴。

2. 手指坏死的伤情鉴定

   • 手指坏死的伤情鉴定则相对复杂，它取决于坏死的程度、是否影响手指功能以及是否伴有其他并发症等因素。一般来说，如果手指坏死导致手指功能严重受损或丧失，可能构成轻伤甚至重伤。但具体等级需要由专业的鉴定机构依据相关标准，结合案件的具体情况进行综合判断。

法律后果与处理流程：

• 伤情鉴定：首先，需要由专业的、具有资质的鉴定机构对受伤者的伤情进行鉴定。这是确定法律责任和后续处理的重要依据。

• 公安处理：

  • 如果鉴定结果为轻微伤，公安机关通常会采取调解的方式解决纠纷，旨在促进双方和解，减少社会矛盾。若调解不成，公安机关也有权依法对施暴者进行行政处罚，如罚款、拘留等。
  • 如果鉴定结果为轻伤或重伤，则可能涉及刑事责任。施暴者可能面临刑事指控，并需要承担相应的刑事责任。

• 民事赔偿：

  • 无论伤情鉴定结果如何，受伤者都有权要求施暴者承担民事赔偿责任。这包括医疗费、误工费、护理费、营养费等因受伤而产生的合理费用。
  • 如果手指坏死导致永久性残疾或功能丧失，受伤者还可以要求施暴者赔偿残疾赔偿金、精神损害抚慰金等。

• 法律程序：

  • 在处理此类纠纷时，建议双方当事人保留好相关证据，如医疗记录、鉴定报告、现场照片等。
  • 如果需要法律援助或进一步咨询相关法律问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。

建议与注意事项：

• 对于受伤者来说，首先应关注自身的身体健康，及时前往医院就医，确保伤情得到妥善治疗。
• 在处理纠纷时，双方当事人应保持冷静和理性，通过合法途径解决争议，避免采取过激行为导致矛盾升级。
• 如果选择私下协商解决纠纷（即“私了”），双方应就赔偿事宜进行充分协商，并签订合法有效的协议，以避免后续纠纷。

综上所述，双方打架致同一人牙齿被打掉一颗通常属于轻微伤范畴，而手指坏死的伤情鉴定则需要根据具体情况进行综合判断。在处理此类纠纷时，建议双方当事人保留好相关证据，并通过合法途径解决争议。如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。