结论：通常情况下，如果因卖淫第一次被抓并决定给予行政拘留等处罚，公安机关会依法及时通知被处罚人的家属。但具体通知方式和时间可能因案情、地区等因素有所不同，且在特定情况下可能会暂时不通知家属。

详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第九十七条的规定，公安机关在作出治安管理处罚决定后，应当向被处罚人宣告治安管理处罚决定书，并当场交付被处罚人；若无法当场宣告，则应在二日内送达。对于决定给予行政拘留处罚的，公安机关应当及时通知被处罚人的家属。这一规定确保了家属的知情权，是法律程序透明化、公正化的重要一环。

2. 通知家属的常规做法：

   • 在实际操作中，警方会依据法律规定，通过电话联系、发送书面通知或其他合适的方式，及时将被拘留人的情况告知其家属。通知内容通常包括被抓人员的姓名、拘留原因、拘留地点以及家属可以提供的帮助和支持方式等。这样的做法有助于家属及时了解情况，减轻不必要的担忧，并为后续的法律程序做好准备。

3. 特殊情况下的处理：

   • 尽管通知家属是常规做法，但在某些特殊情况下，如无法获取家属联系方式、家属明确表示不需要通知、涉案人员明确拒绝通知家属，或者通知可能会对被处罚人或家属造成重大不利影响等，警方可能会根据实际情况灵活处理，暂时不通知家属。然而，这些特殊情况一旦消除，警方仍应尽快履行通知义务。

4. 对个人的影响与建议：

   • 卖淫行为不仅违法，而且会对个人声誉、家庭关系以及职业生涯造成严重的负面影响。因此，我强烈建议遵守法律法规，远离任何违法犯罪行为。如果不幸涉及此类问题，应积极配合公安机关的调查和处理工作，并尽快寻求专业的法律帮助以保护自己的合法权益。同时，也要认识到法律制裁的严肃性，珍惜自己的名誉和未来。

后续行动建议：

• 如果您或您身边的人因卖淫被抓，并担心家属通知问题，建议首先保持冷静，积极配合公安机关的调查。
• 在了解案件具体情况后，如果认为有必要，可以寻求专业的法律帮助，以了解自己的权利和义务，并制定合适的应对策略。
• 同时，也要做好家属的沟通和解释工作，以减轻他们的担忧和压力。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。