核心结论：评审费开票没有合同的情况下，仍可通过收集其他证据材料来证明业务真实性，进而完成开票流程。以下是具体分析和建议：

1. 法律原则与规定

   • 根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。这意味着，只要存在真实的业务往来，收款方就有义务开具发票，合同并非开具发票的唯一前提。
   • 同时，根据《中华人民共和国发票管理办法》第二十条，不符合规定的发票，不得作为财务报销凭证，任何单位和个人有权拒收。因此，开具的发票必须符合规定，包括内容真实、要素齐全等。

2. 无合同情况下的开票处理

   • 收集其他证据材料：在没有合同的情况下，应尽可能收集其他能够证明业务真实性的证据材料，如付款记录、银行转账凭证、评审活动的相关通知或公告、评审报告、参与评审的人员名单等。这些材料可以作为辅助证据，证明评审费的发生和支付情况。
   • 与付款方沟通：与付款方进行沟通，说明没有合同但存在真实业务往来的情况，并请求其协助提供必要的证明材料或出具情况说明。付款方的确认和协助对于证明业务真实性至关重要。
   • 咨询税务机关：如果对于如何开具发票或需要提供哪些证明材料存在疑问，可以咨询当地税务机关或专业税务人员的意见。他们可以根据具体情况提供指导，确保发票的开具符合规定。

3. 风险防范与合规建议

   • 完善合同管理：为了避免类似情况的发生，建议加强合同管理，确保在发生业务往来时及时签订书面合同。合同应明确双方的权利义务、费用标准、支付方式等关键条款，为后续的开票和报销提供有力依据。
   • 保留完整证据链：在业务往来过程中，应保留完整的证据链，包括合同、付款记录、发票、业务往来邮件或短信等。这些证据材料在后续可能出现的纠纷或审计中具有重要的证明作用。
   • 关注税务合规：在开具发票时，应确保发票内容真实、要素齐全，并符合税务机关的规定。避免开具虚假发票或不符合规定的发票，以免引发税务风险或法律纠纷。