政府无固定期限合同工因醉驾被拘役2个月，可能面临以下处理结果：

1. 劳动合同的解除风险
   根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可以解除劳动合同。醉驾被判处拘役属于刑事责任范畴，因此政府单位有权单方解除无固定期限劳动合同，且无需支付经济补偿。但需注意：

   • 程序合法性：单位需在知道或应当知道员工被追究刑事责任后，依法履行解除程序（如通知工会、送达解除通知等）。
     
   • 例外情形：若单位规章制度或劳动合同中明确约定“醉驾不必然导致解除”，或员工存在重大立功表现等特殊情况，可能保留劳动关系，但实践中此类情形极少。

2. 工资与福利待遇的终止
   拘役期间员工无法正常履职，单位可暂停发放工资。若劳动合同被解除，则自解除之日起停止一切福利待遇（如社保、公积金等）。若未解除合同，拘役期间可按事假或停薪留职处理，但需符合单位规章制度。

3. 政务处分（如为公职人员）
   若该员工属于《公务员法》或《公职人员政务处分法》管辖范围（如行政编制、事业编制人员），除劳动合同解除外，还可能面临：

   • 开除公职：因醉驾被判处刑罚的，直接予以开除；
     
   • 处分程序：需经立案调查、处分决定、通知本人等法定流程。
     注：无固定期限合同工若为编外人员，通常不适用政务处分，但需以单位性质为准。

4. 刑事记录对职业的长期影响
   醉驾构成危险驾驶罪，刑事记录将永久保留。即使未被单位解除合同，未来晋升、评优、续签合同等可能受影响。此外，部分职业（如律师、教师、驾驶员等）对刑事记录有准入限制，员工需评估长期职业风险。

建议行动：

• 员工方：尽快委托律师介入刑事案件，争取缓刑或减轻处罚；同步与单位协商，争取谅解以保留工作（如单位同意，可签订书面协议明确条件）。
  
• 单位方：严格依据法律法规和规章制度处理，避免因程序瑕疵引发劳动争议；若决定解除合同，需留存员工被追究刑事责任的证据（如判决书、执行通知书等）。
  

如有进一步细节（如单位性质、员工岗位、刑事案件进展等），可向我补充说明，我会为您分析具体风险点。