核心结论：
- 抑郁焦虑症本身并不直接决定是否判死刑，关键在于犯罪情节、社会危害程度及被告人的主观恶性等因素。
- 若存在被害人过错、被告人有自首或立功等情节，或被告人因精神疾病导致辨认或控制能力受限，可能不判处死刑立即执行。
法律分析：
首先，我们需要明确的是，抑郁焦虑症等精神疾病本身并不直接决定一个人是否会被判处死刑。在刑事法律中，对于犯罪行为的量刑，主要考虑的是犯罪情节、社会危害程度、被告人的主观恶性以及是否有自首、立功等情节。
犯罪情节与社会危害程度：
- 故意杀人罪的量刑根据《中华人民共和国刑法》第二百三十二条的规定，故意杀人的，处死刑、无期徒刑或者十年以上有期徒刑；情节较轻的，处三年以上十年以下有期徒刑。
- 在判断“情节较轻”时，法院会综合考虑犯罪动机、犯罪手段、犯罪后的表现以及社会影响等因素。例如，如果被害人存在严重过错，如长期对被告人进行虐待、侮辱等，这可能被视为减轻被告人罪责的情节。
被告人的主观恶性：
- 主观恶性是指被告人实施犯罪行为时的心理状态，包括故意、过失等。在故意杀人罪中，如果被告人是出于报复、泄愤等恶意目的而杀人，其主观恶性较大，可能面临更严厉的刑罚。
- 然而，如果被告人因抑郁焦虑症等精神疾病导致辨认或控制能力受限，这可能影响对其主观恶性的判断。在这种情况下，法院可能会考虑对被告人从轻或减轻处罚。
自首、立功等情节：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，如果被告人有自首、立功等情节，可以从轻或减轻处罚。自首是指犯罪嫌疑人自动投案，如实供述自己的罪行的行为；立功是指犯罪嫌疑人有揭发他人犯罪行为，查证属实的，或者提供重要线索，从而得以侦破其他案件等行为。
精神疾病的影响：
- 如果被告人因抑郁焦虑症等精神疾病导致在犯罪时无法辨认或控制自己的行为，这可能构成刑法上的“责任能力限制”或“责任能力丧失”。在这种情况下，被告人可能不承担或仅承担部分刑事责任。
- 但需要注意的是，精神疾病的诊断和鉴定需要由专业的精神科医生进行，并且需要符合法律规定的程序和标准。
律师观点：
在您所描述的情况下，如果被告人因抑郁焦虑症而杀害了所谓的“小三”，其是否会被判处死刑取决于多个因素的综合考量。如果被害人存在过错、被告人有自首或立功等情节，或者被告人因精神疾病导致辨认或控制能力受限，那么被告人可能不会被判处死刑立即执行。
律师建议：
- 及时寻求法律援助：如果您或您认识的人面临类似的法律问题，建议及时咨询专业律师，以便获得更具体的法律建议和帮助。
- 收集证据：在刑事案件中，证据是至关重要的。因此，建议尽可能收集与案件相关的证据，如医疗记录、证人证言等。
- 关注被告人的精神状况：如果被告人确实存在精神疾病，建议及时进行诊断和治疗，并在法律程序中提出相应的辩护意见。
总之，刑事案件的量刑是一个复杂而细致的过程，需要综合考虑多个因素。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。