涉嫌寻衅滋事被刑事拘留三天后，案件可能进入以下处理阶段，需结合具体情节和证据综合判断：

1. 延长拘留期限或提请批捕
   根据《刑事诉讼法》第九十一条，公安机关对被拘留的人认为需要逮捕的，应在拘留后三日内提请检察院审查批准。特殊情况下可延长1-4日；对流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，可延长至30日。

   • 若案件证据充分、情节严重（如随意殴打他人致轻伤以上、强拿硬要财物达一定数额等），公安机关可能提请检察院批准逮捕，拘留期限将延长至37日（含检察院审查的7日）。
     
   • 若证据不足或情节轻微，公安机关可能释放嫌疑人或变更强制措施为取保候审、监视居住。

2. 释放或变更强制措施

   • 无罪或证据不足：若公安机关未在拘留期限内提请批捕，或检察院认为不构成犯罪、证据不足，嫌疑人将被释放，公安机关需立即出具《释放通知书》。
     
   • 取保候审：若嫌疑人可能判处缓刑、拘役或单处罚金，且无社会危险性，公安机关或检察院可决定取保候审，要求提供保证人或缴纳保证金。
     
   • 监视居住：对符合取保候审条件但无法提供保证人或保证金的，可监视居住。

3. 检察院审查批捕阶段的关键点

   • 检察院需在7日内作出是否批准逮捕的决定。若批准逮捕，案件进入侦查阶段；若不批准，公安机关需释放嫌疑人或变更强制措施。
     
   • 嫌疑人或辩护律师可在此阶段向检察院提交《不予批准逮捕法律意见书》，主张无罪、情节轻微或证据不足等理由。

4. 后续程序走向

   • 逮捕后侦查：若批准逮捕，公安机关需在2个月内完成侦查（特殊情况可延长），后移送检察院审查起诉。
     
   • 直接起诉：若公安机关认为证据充分且无需逮捕，可能在拘留后直接移送检察院审查起诉（但实践中较少见）。
     
   • 行政处罚衔接：若行为情节显著轻微、危害不大，不构成犯罪，公安机关可能撤销刑事案件，转而依据《治安管理处罚法》处以行政拘留（最长15日）或罚款。

建议行动：

• 嫌疑人近亲属应尽快委托律师介入，了解案情、会见嫌疑人，并向公安机关提交法律意见，争取释放或变更强制措施。
  
• 若已收到《逮捕通知书》，需重点分析证据链是否完整、是否存在从轻情节（如自首、立功、认罪认罚等），为后续辩护做准备。
  
• 关注案件是否涉及“寻衅滋事罪”与“故意伤害罪”“敲诈勒索罪”等罪名的竞合，避免重罪认定。
  

如有具体案情（如行为方式、后果、主观故意等），可进一步向我咨询，我将结合证据细节提供针对性分析。