结论：女方婚内出轨并有私生子，其老公在特定条件下是可以起诉要求赔偿的。以下从多个角度进行详细分析：
一、法律背景与依据
《中华人民共和国民法典》的相关规定：
- 根据《民法典》第一千零九十一条，有下列情形之一，导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿：（一）重婚；（二）与他人同居；（三）实施家庭暴力；（四）虐待、遗弃家庭成员；（五）有其他重大过错。
- 在此情况下，女方婚内出轨并有私生子，虽然不直接等同于“重婚”或“与他人同居”，但可能构成“有其他重大过错”，从而赋予无过错方（即女方老公）请求损害赔偿的权利。
损害赔偿的范围：
- 损害赔偿通常包括物质损害赔偿和精神损害赔偿。物质损害赔偿主要涉及因出轨行为导致的直接经济损失，如因处理出轨事件而产生的合理费用等。精神损害赔偿则是对无过错方因对方出轨行为所遭受的精神痛苦和心灵创伤的补偿。
二、实际操作与考量
证据收集：
- 要成功起诉要求赔偿，关键在于收集充分的证据来证明女方的出轨行为以及私生子的存在。这可能包括聊天记录、照片、视频、证人证言、亲子鉴定报告等。
- 证据的收集应当合法，不得侵犯他人隐私或违反法律法规，否则可能面临证据无效的风险。
离婚诉讼的提起：
- 通常，损害赔偿的请求是在离婚诉讼中一并提出的。因此，女方老公需要先决定是否要离婚，并在离婚诉讼中明确提出损害赔偿的请求。
- 如果双方已经离婚，但当时未提出损害赔偿请求，根据《民法典》及相关司法解释，无过错方在离婚后一定期限内（通常为一年）仍可以向法院提起诉讼，要求对方进行损害赔偿。
法院的判断与裁决：
- 法院在审理此类案件时，会综合考虑多种因素，包括出轨行为的严重程度、对无过错方造成的损害程度、双方的经济状况等，来裁决是否支持损害赔偿的请求以及赔偿的具体金额。
三、特殊情况与注意事项
私生子的法律地位：
- 私生子在法律上享有与婚生子女同等的权利，包括继承权等。因此，在处理此类案件时，需要考虑到私生子的合法权益，避免对其造成不必要的伤害。
道德与法律的平衡：
- 虽然法律为无过错方提供了一定的保护，但在处理此类案件时，也需要考虑到道德因素和社会影响。双方应当尽量通过协商、调解等方式解决纠纷，以减少对家庭和社会的负面影响。
建议：如果您作为女方老公面临此类情况，建议先收集充分的证据来证明女方的出轨行为和私生子的存在。然后，咨询专业律师（即我，王雪影律师）的意见，了解具体的法律程序和可能的结果。在决定是否提起离婚诉讼和损害赔偿请求时，需要综合考虑多种因素，包括个人感受、家庭状况、经济状况等。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。