结论：对公账户的钱在未签订合同申请的情况下能否退回原账户，这并非一个简单的“是”或“否”的问题，而是需要依据具体情况和相关法律法规来综合判断。以下是从不同角度进行的分析：
合同关系与资金流转：
- 在正常的商业交易中，对公账户之间的资金流转通常与合同关系紧密相连。合同是双方约定权利和义务的法律文件，资金流转往往是履行合同的一部分。
- 如果资金已经转入对公账户，但尚未签订合同或合同未生效，那么资金的退回可能取决于双方的具体约定以及相关法律法规的规定。
无合同情况下的资金退回：
- 双方协商一致：如果双方在没有签订合同的情况下，就资金的退回达成了一致意见，那么资金是可以退回原账户的。这种情况下，双方可以签订一份补充协议或确认书，明确资金退回的意愿和方式。
- 法定情形：根据相关法律法规，如《中华人民共和国民法典》中关于不当得利的规定，如果一方在没有合法依据的情况下获得了另一方的财产（如资金），那么受损失的一方有权要求返还。在这种情况下，即使没有签订合同，资金也可能需要退回原账户。
- 银行规定与操作流程：除了合同和法律因素外，银行的规定和操作流程也会影响资金的退回。不同银行对于资金退回的要求和流程可能有所不同，因此在实际操作中需要遵循银行的相关规定。
实际操作建议：
- 沟通协商：首先，建议与对方进行沟通协商，明确资金退回的意愿和方式。如果双方能够达成一致意见，那么可以签订补充协议或确认书，并按照银行的要求办理资金退回手续。
- 寻求法律帮助：如果双方无法就资金退回达成一致意见，或者存在其他争议和纠纷，那么建议寻求专业的法律帮助。律师可以根据具体情况和相关法律法规，为你提供专业的法律意见和解决方案。
- 注意证据保留：在整个过程中，注意保留相关证据和文件，如转账记录、沟通记录、合同草案等。这些证据和文件在后续的法律程序中可能起到关键作用。
特殊情况说明：如果资金转入对公账户是基于某种特定的交易或业务背景（如投资、合作等），那么资金的退回可能受到更多因素的制约和影响。在这种情况下，建议更加谨慎地处理资金退回问题，并寻求专业的法律帮助以确保自身权益不受损害。
后续行动建议：如果你正面临这样的问题，建议首先与对方进行沟通协商，并尝试达成一致意见。如果无法达成一致意见或存在其他争议和纠纷，那么请随时向我咨询，我会根据你的具体情况和相关法律法规为你提供专业的法律意见和解决方案。