当遇到没有合同且房东不退房租的情况时，作为租客，您确实会面临一些挑战，但仍有多种途径可以维护自己的合法权益。以下是一些详细且具有深度的建议，希望能帮助您解决问题：

一、尝试友好协商

首先，我建议您与房东进行友好、耐心的沟通。尽管没有书面合同，但如果您能证明租赁关系的存在（比如通过转账记录、聊天记录等），可以尝试与房东就退款事宜达成协议。在沟通过程中，保持冷静和理性，明确表达您的诉求和理由，有助于问题的顺利解决。

二、全面收集并保留证据

如果协商无果，您需要开始全面收集并保留相关证据，以支持后续的法律行动。这些证据可能包括：

1. 支付房租的记录：如银行转账记录、支付宝或微信支付截图等，这些都能证明您已向房东支付了房租。
2. 与房东的沟通记录：如短信、微信聊天记录、电话录音等，这些记录能反映双方就退租事宜的沟通过程，有助于证明您的立场。
3. 居住期间的凭证：如水电费缴纳记录、物业缴费单据、小区物业证明、居委会证明等，这些都能证明您实际居住的情况。
4. 其他相关证据：如租房时的中介费收据、房屋照片、视频等，这些也有助于还原租赁事实，为您的权益提供有力支持。

三、寻求法律途径解决

1. 向当地住建局投诉

您可以向当地的住房和城乡建设局（住建局）投诉房东的不当行为。住建局作为房地产主管部门，有权对房屋租赁市场进行监管，并可以介入调解纠纷。在投诉时，请提供详细的证据材料，以便住建局更好地了解情况并作出处理。

2. 向人民法院提起诉讼

如果投诉未能解决问题，您可以考虑向人民法院提起诉讼。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，即使未签订书面租赁合同，只要租赁关系实际存在，您就有权要求退还多付的房租或押金。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据证明自己的主张，并按照法院的要求参与庭审。

3. 申请仲裁（如适用）

如果双方在租赁过程中约定了仲裁条款，或者事后达成了仲裁协议，您也可以向约定的仲裁机构申请仲裁。仲裁结果具有法律效力，双方应当履行。

四、注意事项

1. 及时行动：发现问题后应尽快采取行动，避免拖延导致证据丢失或诉讼时效过期。
2. 合法维权：在维权过程中要遵守法律法规，不得采取过激行为或侵犯他人权益。
3. 咨询专业人士：如有需要，可以咨询律师或其他法律专业人士的意见，以获得更专业的指导。

综上所述，面对没有合同且房东不退房租的情况，您应保持冷静并采取积极的措施来维护自身权益。通过友好协商、全面收集证据、寻求法律途径解决以及注意相关事项，您有望有效地解决这一问题并确保自己的合法权益得到保障。