关于机关单位拆除的旧电梯是否可以交给新电梯安装公司的问题，这主要取决于新电梯安装公司的资质以及双方之间的合同约定。以下是一些详细的分析和建议：

首先，从资质角度来看，新电梯安装公司必须具备相应的特种设备生产许可证，这是进行电梯拆除、安装、改造等工作的基本前提。根据杭州市出台的《杭州市住宅老旧电梯更新改造委托合同(示范文本)(试行)》中的相关规定，电梯的拆除、安装、改造必须由依法持有特种设备安全监督管理部门核发的《特种设备生产许可证》的单位实施，且不得二次转包。因此，如果新电梯安装公司具备这样的资质，并且符合合同中的其他要求，那么机关单位是可以考虑将旧电梯交给该公司进行拆除的。

其次，从合同约定的角度来看，机关单位在与新电梯安装公司签订合同时，应明确约定旧电梯的拆除、处理方式以及相关费用等事项。合同中可以规定旧电梯的拆除费用、拆除后的处理方式（如回收、报废等）以及由此产生的相关责任等。这样既可以保障机关单位的权益，也可以确保新电梯安装公司在拆除旧电梯过程中有明确的指导和约束。

此外，还需要注意的是，旧电梯的拆除和处理可能涉及到环保、安全等方面的问题。因此，在交给新电梯安装公司之前，机关单位应确保该公司具备处理这些问题的能力和资质，以避免因处理不当而引发的法律责任和环境污染等问题。

综上所述，如果新电梯安装公司具备相应的资质，并且双方之间的合同约定明确、合理，那么机关单位是可以将旧电梯交给该公司进行拆除的。但在此过程中，机关单位应严格把关，确保合同的履行和旧电梯的安全、环保处理。如有需要，建议机关单位在签订合同前咨询专业的法律或技术顾问，以确保合同的合法性和有效性。