流动摊贩卖宠物的监管问题，主要涉及多个部门的职责划分，具体来说，主要由市场监督管理部门、农业农村部门以及城市管理部门负责。以下是对这一问题的详细分析：
市场监督管理部门：
- 职责：市场监督管理部门负责市场主体的登记注册、市场秩序的维护以及消费者权益保护等工作。对于流动摊贩卖宠物的行为，如果摊贩未依法办理相关证照或存在欺诈、虚假宣传等违法行为，市场监督管理部门有权进行查处。
- 法律依据：根据《中华人民共和国市场主体登记管理条例》等相关法律法规，市场主体应当依法办理登记注册，未取得营业执照从事经营活动的，由市场监督管理部门依法予以处罚。
农业农村部门：
- 职责：农业农村部门负责动物防疫、检疫以及宠物饲养、交易等方面的监管工作。对于流动摊贩卖宠物的行为，如果涉及未经检疫的宠物或存在动物疫病传播风险，农业农村部门有权进行查处。
- 法律依据：根据《中华人民共和国动物防疫法》等相关法律法规，出售、运输动物产品应当附有检疫证明、检疫标志，未经检疫的动物产品不得上市销售。
城市管理部门：
- 职责：城市管理部门负责城市市容市貌、环境卫生以及占道经营等方面的管理工作。对于流动摊贩在公共场所摆摊设点卖宠物的行为，如果影响了城市市容市貌或环境卫生，城市管理部门有权进行查处。
- 法律依据：根据《城市市容和环境卫生管理条例》等相关法律法规，任何单位和个人不得擅自占用城市道路、公共场所从事摆摊设点等经营活动。
针对流动摊贩卖宠物可能引发的侵权损害问题（如动物侵权），如果消费者在购买或接触宠物过程中受到伤害，可以依法向相关责任方主张赔偿。具体来说：
- 如果伤害是由于宠物本身的疾病或攻击性行为导致的，且摊贩未尽到告知义务或存在过错，消费者可以向摊贩主张赔偿。
- 如果伤害是由于摊贩的设施或环境不安全导致的，如摊位设置不当、宠物笼舍不牢固等，消费者也可以向摊贩主张赔偿。
建议：
- 对于消费者而言，在购买或接触宠物时，应仔细了解宠物的健康状况、性格特点等信息，并要求摊贩提供相关的检疫证明和身份证明。
- 如果发现摊贩存在违法行为或自己受到伤害，应及时向相关部门投诉或报警，并保留好相关证据以便后续维权。
如有任何关于动物侵权或其他法律问题的疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。