结论：符合三个工伤认定条件的情况下，即使首先去了私人诊所，后来才去医院开了诊断证明，仍然可以认定为工伤，但需确保相关医疗记录和证据完整、合法，以支持工伤认定申请。

分析说明：

1. 工伤认定的基本条件：

   • 工伤认定通常基于三个核心条件：一是职工与用人单位存在劳动关系；二是职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害；三是有相关医疗证明或职业病诊断证明。您提到已经符合这三个条件，这是认定工伤的基础。

2. 医疗记录的重要性：

   • 医疗记录是工伤认定中的关键证据。它证明了职工受伤的事实、受伤部位、受伤程度以及治疗过程。无论是私人诊所还是医院出具的诊断证明，只要真实、合法、有效，都可以作为工伤认定的依据。
   • 然而，需要注意的是，私人诊所的诊断证明可能在某些情况下受到质疑，因为其医疗设备和专业水平可能不如正规医院。因此，在可能的情况下，建议尽快前往正规医院进行进一步检查和治疗，并获取更详细的医疗记录。

3. 证据的完整性和合法性：

   • 为了确保工伤认定的顺利进行，您需要确保所有医疗记录（包括私人诊所和医院的诊断证明）都是完整、合法的。这包括确保医疗记录上有医生的签名、医院的盖章，以及记录了受伤的具体时间、地点、原因等信息。
   • 如果私人诊所的诊断证明存在瑕疵或不足，您可能需要通过其他方式（如证人证言、现场照片等）来补充证明受伤的事实和原因。

4. 工伤认定的流程：

   • 在收集完所有必要的证据后，您需要向用人单位所在地的社会保险行政部门提出工伤认定申请。申请时，需要提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书等材料。
   • 社会保险行政部门在收到申请后，会进行调查核实，并在一定期限内作出工伤认定决定。如果认定结果为工伤，您就可以享受相应的工伤保险待遇。

建议行动：

• 尽快收集和完善医疗记录：确保所有医疗记录都是完整、合法的，并尽可能获取更详细的医疗信息。
• 向用人单位报告受伤情况：及时告知用人单位您受伤的情况，并要求用人单位协助您进行工伤认定申请。
• 提交工伤认定申请：在收集完所有必要的证据后，尽快向社会保险行政部门提交工伤认定申请。
• 如有需要，寻求法律援助：如果您在工伤认定过程中遇到任何困难或问题，可以随时向我咨询，我将为您提供专业的法律援助。