结论：房地产公司母公司房产委托子公司管理并签署委托管理协议后，在一定条件下可以以子公司名义进行相关活动，但需严格遵守法律法规及协议约定。以下从不同角度进行详细分析：
一、法律关系角度
委托管理协议的法律性质：
- 委托管理协议是母公司与子公司之间就房产管理事宜达成的协议，具有合同性质。根据《中华人民共和国民法典》中关于委托合同的规定，受托人（子公司）在委托人（母公司）的授权范围内，可以以委托人的名义或自己的名义进行民事法律行为。
以子公司名义活动的合法性：
- 若委托管理协议中明确约定子公司可以以自己的名义进行房产管理活动，如出租、出售等，且该活动不违反法律法规的强制性规定，则子公司可以以自己的名义进行。
- 若协议未明确约定，但子公司实际以自己的名义进行活动，且母公司未提出异议或事后追认，根据表见代理或默示授权的原则，子公司可能被视为有权以自己的名义进行活动。然而，这种情况存在法律风险，建议明确约定以避免纠纷。
二、实际操作角度
房产登记与权属证明：
- 若房产仍登记在母公司名下，子公司以自己的名义进行活动时，可能需要提供母公司的授权委托书或其他权属证明文件，以证明其有权进行相关活动。
- 若房产已过户至子公司名下，则子公司自然有权以自己的名义进行活动，无需额外授权。
合同签订与履行：
- 子公司以自己的名义签订房产管理相关合同时，应确保合同内容符合法律法规及委托管理协议的约定，避免因合同瑕疵导致法律风险。
- 在合同履行过程中，子公司应严格按照合同约定履行义务，确保母公司的权益不受损害。
三、法律风险与防范
法律风险：
- 若子公司未经母公司授权或超出授权范围以自己的名义进行活动，可能构成无权代理或越权代理，导致合同无效或被撤销，给母公司带来损失。
- 若子公司以自己的名义进行活动时违反法律法规的强制性规定，可能面临行政处罚或刑事责任。
风险防范：
- 母公司与子公司应在委托管理协议中明确约定子公司的权限范围、活动方式及法律责任等条款，以规范双方的行为。
- 子公司在进行房产管理活动时，应严格遵守法律法规及协议约定，确保活动的合法性和合规性。
- 母公司应加强对子公司的监督和管理，及时发现并纠正子公司的违规行为，避免损失扩大。
建议：在实际操作中，母公司与子公司应充分沟通并明确各自的权利和义务，签署详细的委托管理协议，并在协议中明确约定子公司是否可以以自己的名义进行房产管理活动。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。