结论前置：

1. 法律上无法断绝父子关系，子女仍需赡养父亲：父子关系基于血缘产生，在法律上无法通过任何方式断绝。因此，即使双方声称断绝关系，子女仍负有赡养父亲的法定义务。
2. 赡养义务的具体内容与法律责任：赡养义务包括经济供养、生活照料和精神慰藉。若子女不履行，父亲有权要求支付赡养费，甚至通过法律途径维权。

详细分析：

一、法律上无法断绝父子关系，赡养义务不可免除

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母与子女之间的法律关系是基于血缘关系而存在的，这种关系在法律上是无法通过任何方式断绝的。无论双方是否签订了所谓的“断绝关系”协议，或者通过其他方式表达了断绝关系的意愿，都无法改变他们之间的法律身份和地位。因此，即使父亲和子女声称断绝关系，子女仍然需要履行对父亲的赡养义务。

二、赡养义务的具体内容

赡养义务是法定的，不因父母与子女之间的关系变化而消除。它包括以下几个方面：

1. 经济供养：子女应当为父亲提供必要的生活费用，确保他的基本生活需求得到满足。这包括食物、住房、医疗等基本生活开支。
2. 生活照料：子女应当关心父亲的日常生活起居，特别是在他年老或生病时，给予必要的照顾和护理。
3. 精神慰藉：子女应当关心父亲的情感需求，给予他必要的陪伴和关怀，让他感受到家庭的温暖和关爱。

三、不履行赡养义务的法律责任

如果子女不履行赡养义务，父亲有权采取法律手段来维护自己的合法权益。具体来说：

1. 要求支付赡养费：父亲可以向子女要求支付赡养费，以确保自己的基本生活需求得到满足。如果子女拒绝支付，父亲可以向人民法院提起诉讼，要求子女履行赡养责任。
2. 法律制裁：如果子女长期不履行赡养义务，情节严重的，还可能面临法律的制裁。这体现了法律对家庭关系中权利和义务的严格保护。

四、特殊情况下的处理

虽然一般情况下子女需要履行赡养义务，但也存在一些特殊情况。例如，如果父亲对子女有严重犯罪行为（如虐待、遗弃等），子女可以在法律允许的范围内寻求保护自己的权益。然而，这并不意味着子女可以完全免除赡养义务。在这种情况下，子女可以通过法律途径解决与父亲之间的矛盾和问题，同时继续履行自己的赡养责任，比如通过法院判决调整赡养方式或金额。

总结与建议：

从法律和道德层面来看，赡养父亲是子女不可推卸的责任。无论父亲和子女之间是否存在矛盾或分歧，子女都应当尽自己所能去照顾和关爱年迈的父亲。如果双方关系紧张，建议通过沟通、协商或寻求第三方调解来化解矛盾，而不是简单地声称断绝关系。如果确实存在无法调和的矛盾，子女仍需履行基本的赡养义务，但可以通过法律途径调整具体履行方式。

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