结论前置：在劳动纠纷中，若因未先进行劳动仲裁而直接上诉被法院驳回，一般不能仅通过补充仲裁不受理通知书来重新上诉。但具体是否可以重新上诉，需根据驳回的具体原因和案件情况来判断。
详细分析：
劳动仲裁前置原则：
- 根据我国《劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议案件一般需要先经过劳动仲裁程序，对仲裁结果不服的，才可以向人民法院提起诉讼。这是劳动争议处理的基本原则，即“仲裁前置”。
直接上诉被驳回的情况：
- 如果当事人未先进行劳动仲裁而直接向法院提起诉讼，法院通常会以“未经仲裁前置程序”为由驳回起诉。这种情况下，仅仅补充仲裁不受理通知书，并不能直接解决程序上的瑕疵，因为法院驳回的是基于程序上的原因，而非实体上的争议。
可能的解决路径：
- 重新申请劳动仲裁：如果法院驳回起诉是因为未经仲裁前置程序，那么当事人应当首先向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在仲裁过程中，可以充分陈述自己的诉求和理由，并提交相关证据。
- 对仲裁结果不服再起诉：如果对劳动仲裁的结果不服，可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。此时，法院将会对案件进行实体审理。
- 特殊情况下的直接起诉：虽然一般情况下需要仲裁前置，但也有一些特殊情况，如双方当事人已经达成书面仲裁协议并约定直接向法院起诉的，或者某些特定类型的劳动争议（如因执行国家的劳动标准在工作时间、休息休假、社会保险等方面发生的争议）可能不需要经过仲裁前置程序。然而，这些情况并不常见，且需要具体分析。
关于仲裁不受理通知书的补充：
- 仲裁不受理通知书是劳动争议仲裁委员会在决定不受理案件时出具的书面文件。它本身并不能作为直接向法院起诉的依据，除非是在特定情况下（如仲裁委员会逾期未作出受理决定或裁决，当事人可以直接向法院提起诉讼）。在大多数情况下，如果仲裁委员会不受理案件，当事人应当根据不受理的原因来决定下一步的行动，如补充材料、修改申请等，或者选择其他争议解决方式。
建议：
- 如果你遇到了劳动纠纷且已经因未先仲裁而被法院驳回起诉，建议你首先向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 在申请仲裁时，要确保提交完整的申请材料和证据，并按照仲裁委员会的要求参与仲裁程序。
- 如果对仲裁结果不服，再在法定期限内向人民法院提起诉讼。
后续思考：
- 在处理劳动纠纷时，了解并遵守相关的法律程序是非常重要的。这不仅可以保护你的合法权益，还可以避免不必要的法律风险和成本。
- 如果你对劳动仲裁或诉讼程序有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况提供专业的法律建议和帮助。