结论：将监控上的小偷视频发到抖音是否违法，不能一概而论，需要分情况讨论。
分析：
如果视频内容不涉及他人隐私且发布目的合法：
- 若监控视频仅捕捉到了小偷的盗窃行为，没有涉及到其他无辜人员的隐私信息，且发布视频的目的是为了寻求帮助、警示他人或协助警方破案等合法目的，那么这种行为通常不构成违法。
- 在这种情况下，你作为视频的发布者，是在行使自己的合法权益，同时也有助于维护社会治安和公共利益。
如果视频内容涉及他人隐私或发布目的不合法：
- 若监控视频中不仅包含了小偷的盗窃行为，还无意中捕捉到了其他无辜人员的隐私信息（如面部特征、家庭住址等），且你在发布视频时没有对这些隐私信息进行适当处理，那么这种行为可能构成侵犯他人隐私权。
- 另外，如果你发布视频的目的是为了恶意炒作、诽谤他人或谋取不正当利益等非法目的，那么这种行为也可能构成违法，甚至可能触犯刑法中的相关规定。
法律建议：
- 在发布监控视频前，请务必仔细审查视频内容，确保不涉及他人隐私信息。如果视频中确实包含了无辜人员的隐私信息，建议对视频进行适当处理（如打码、模糊处理等）后再发布。
- 明确发布视频的目的，确保是为了合法、正当的目的而发布。避免为了恶意炒作、诽谤他人或谋取不正当利益等非法目的而发布视频。
- 如果可能的话，在发布视频前最好咨询专业律师的意见，以确保自己的行为符合法律法规的规定。
可能后果：
- 如果你的行为构成了侵犯他人隐私权或违反了其他法律法规的规定，那么你可能需要承担相应的法律责任，包括但不限于民事赔偿、行政处罚甚至刑事责任。
- 另外，如果你的行为对他人造成了不良影响或损害了社会公共利益，那么你还可能面临社会舆论的谴责和道德上的压力。
如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。