结论：公公去世后，若遗嘱明确指定了继承人，那么通常情况下，遗嘱中写明的继承人将继承相应的财产。但这一过程并非绝对简单，还需考虑遗嘱的合法性、是否存在其他继承情况以及财产的具体性质等因素。以下是对此问题的详细分析：

1. 遗嘱的合法性：

   • 首先，需要确认遗嘱是否合法有效。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗嘱必须满足一定的形式要件（如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名，并注明年、月、日；代书遗嘱应当有两个以上见证人在场见证等）和实质要件（如遗嘱人必须具有完全民事行为能力，遗嘱内容必须真实、合法，不得违反公序良俗等）。
   • 如果遗嘱存在形式或实质上的瑕疵，可能会影响其法律效力，进而影响继承权的行使。

2. 遗嘱继承与法定继承的关系：

   • 在遗嘱合法有效的情况下，遗嘱继承优先于法定继承。即如果遗嘱中明确指定了继承人，那么该继承人将按照遗嘱的约定继承财产，而其他法定继承人（如配偶、子女、父母等）则无权继承该部分财产。
   • 但如果遗嘱未涉及全部财产，或者遗嘱部分无效，那么剩余财产或无效部分将按照法定继承的规定进行分配。

3. 财产的具体性质：

   • 还需要考虑财产的具体性质。例如，如果财产是公公与婆婆的共同财产，那么在继承时，需要先分割出婆婆的份额，剩余部分才能作为公公的遗产进行继承。
   • 另外，如果财产涉及特殊类型（如房产、车辆等），可能还需要办理相关的过户手续或登记变更手续。

4. 其他继承情况：

   • 除了遗嘱继承和法定继承外，还存在一些特殊的继承情况。例如，如果公公在遗嘱中指定了继承人，但该继承人在公公去世前已经死亡或丧失继承权，那么该部分财产将按照法定继承或其他相关规定进行分配。
   • 另外，如果公公在遗嘱中未明确指定继承人，或者遗嘱无效导致无法确定继承人，那么该部分财产也将按照法定继承的规定进行分配。

建议：

• 在处理此类问题时，建议首先确认遗嘱的合法性和有效性。如果遗嘱存在疑问或争议，可以寻求专业律师的帮助进行鉴定和解析。
• 同时，也需要了解财产的具体性质和归属情况，以便在继承过程中避免不必要的纠纷和损失。
• 如果在处理过程中遇到任何法律问题或困惑，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。