私自砍伐绿化带树木是一个涉及多方面法律责任的问题，具体处罚取决于砍伐行为的性质、情节以及造成的后果。以下是对此问题的详细解答：
一、行政处罚
罚款：
- 根据《城市绿化条例》等相关法规，未经批准擅自砍伐城市树木的，由城市人民政府城市绿化行政主管部门责令停止侵害，并可处以罚款。
- 罚款的具体数额因地区而异，但通常与砍伐树木的数量、价值以及造成的损害程度有关。例如，在某些地区，砍伐一株胸径在30厘米以上的大树，可能面临每株2000元至3万元的罚款；砍伐其他树木则可能按“每株折算三株”的标准进行处罚，或者处树木价值一倍以上五倍以下罚款。
补种或赔偿：
- 除了罚款外，违法者还可能被要求补种一定数量的树木，以恢复绿化环境。
- 或者按照树木评估价值的若干倍（如5至10倍）进行赔偿，以弥补因砍伐树木而造成的损失。
二、刑事责任
盗伐林木罪：
- 如果砍伐的树木属于国家、集体或他人所有，且数量较大，可能构成盗伐林木罪。
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百四十五条第一款的规定，盗伐森林或者其他林木，数量较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数量巨大的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金；数量特别巨大的，处七年以上有期徒刑，并处罚金。
滥伐林木罪：
- 如果违反森林法的规定，未经林业行政主管部门及法律规定的其他主管部门批准并核发采伐许可证，或者虽持有采伐许可证，但违背采伐证所规定的地点、数量、树种、方式而任意采伐本单位所有或管理的，以及本人自留山上的森林或者其他林木，数量较大的行为，可能构成滥伐林木罪。
- 同样根据《中华人民共和国刑法》第三百四十五条第二款的规定，将受到相应的刑事处罚。
三、民事赔偿
- 如果砍伐绿化树的行为给他人造成了财产损失或其他损害，违法者还需要承担相应的民事赔偿责任。
- 这包括赔偿树木的价值、因树木被砍伐而产生的其他经济损失（如生态修复费用、景观损失等）。
四、特殊情况说明
- 即使树木是自己种植的，但若位于城市公共绿地或他人合法拥有的土地上，也不能随意砍伐。砍伐者需按照相关法律法规办理审批手续，否则将面临法律责任。
- 对于古树名木的砍伐，罚款幅度通常更高，且各地差异较大。例如，某些地区规定砍伐或擅自迁移古树名木的，每株处二十万元以上五十万元以下罚款。
五、建议
- 在进行任何与树木砍伐相关的活动之前，务必咨询当地的城市绿化行政主管部门或专业律师，以确保行为符合法律法规要求，避免不必要的法律责任和经济损失。
- 同时，也应加强对城市绿化的保护意识，共同维护城市生态环境。
综上所述，私自砍伐绿化带树木可能面临行政处罚、刑事责任以及民事赔偿等处罚。因此，建议在进行任何砍伐活动前，务必了解并遵守相关法律法规，以维护自身和他人的合法权益。