核心结论：小孩在私人娱乐场所摔伤，责任承担需根据具体情况判断，主要涉及场所经营者责任、监护人责任及小孩自身行为等因素。以下从不同角度展开分析：

1. 场所经营者的责任
   根据《民法典》第1198条，娱乐场所等公共场所的管理人或群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务造成他人损害的，应承担侵权责任。

   • 关键点：需证明场所存在安全隐患（如地面湿滑、设施损坏、警示标识缺失等），且该隐患与摔伤直接相关。
     
   • 举证责任：家长需提供现场照片、监控录像、证人证言等证据，证明场所未尽到安全保障义务。
     
   • 例外情形：若场所已尽到合理安全保障义务（如定期检查设施、设置警示标识等），则可能减轻或免除责任。

2. 监护人的责任
   根据《民法典》第34条，监护人需对被监护人的人身安全尽到监护职责。若监护人未履行监护义务（如放任小孩独自玩耍、未及时制止危险行为等），可能需承担部分责任。

   • 关键点：需结合小孩年龄、行为能力及监护人是否在场等因素综合判断。例如，低龄儿童独自在娱乐场所玩耍，监护人可能被认定未尽到监护职责。

3. 小孩自身行为的影响
   若小孩因故意或重大过失导致摔伤（如攀爬危险设施、追逐打闹等），可能减轻场所经营者的责任。

   • 关键点：需证明小孩行为与摔伤存在直接因果关系，且场所经营者已尽到合理提示义务。

建议行动步骤：

1. 立即处理伤情：优先确保小孩得到及时医疗救治，并保留医疗记录、费用单据等证据。
   
2. 固定现场证据：拍摄现场照片、视频，记录设施状况、警示标识等，必要时联系目击者作证。
   
3. 与场所协商：向经营者提出赔偿要求，明确责任划分及赔偿范围（如医疗费、护理费、交通费等）。
   
4. 投诉或诉讼：若协商无果，可向当地市场监管部门投诉，或直接向法院起诉，要求场所经营者承担相应责任。

温馨提示：具体责任划分需结合案件细节及证据综合判断，建议根据实际情况进一步向我咨询，以便更精准地分析案件并制定应对策略。