当犯罪嫌疑人逃到国外时，公安部门会采取一系列复杂而周密的措施来应对，以确保法律的公正实施和犯罪嫌疑人的及时归案。以下是对这些措施的详细解释：
一、国际法律合作与引渡
引渡条约：
- 如果我国与犯罪嫌疑人逃往的国家之间有引渡条约，公安部门会依据该条约，通过外交渠道向对方国家提出引渡请求。引渡请求需要附带充分的证据，证明犯罪嫌疑人的犯罪事实，并满足引渡条约中规定的条件，如双重犯罪原则等。
- 引渡过程可能涉及多个部门的协作，包括外交部、最高人民法院、最高人民检察院等，以确保请求的合法性和有效性。
外交途径：
- 即使没有引渡条约，公安部门也会通过外交途径与对方国家进行沟通，请求其协助抓捕和移交犯罪嫌疑人。这需要高层级的政治和外交努力，以及双方国家的友好合作关系。
二、国际刑警组织协助
发布红色通缉令：
- 公安部门可以向国际刑警组织发出红色通缉令，这是国际刑警组织发出的最高级别通报，旨在向各成员国警方通报被通缉的在逃人员信息。
- 红色通缉令具有全球范围内的效力，各成员国警方在收到通报后，会根据本国法律和实际情况对通报对象进行查缉。
合作抓捕：
- 一旦发现犯罪嫌疑人踪迹，所在国警方会采取临时羁押等措施，并与中国警方沟通后续处置事宜，包括可能的抓捕和引渡。
三、国内法律程序与措施
立案侦查：
- 国内公安机关会继续对案件进行立案侦查，收集证据，为后续的追诉工作做好准备。即使犯罪嫌疑人逃往国外，也不能放弃对其的追诉。
财产冻结与没收：
- 公安部门可以依法对犯罪嫌疑人在国内的财产进行冻结或没收，以切断其经济来源，削弱其在国外的生存能力，增加其回国的压力。
劝返与自首政策：
- 公安部门会通过各种渠道向犯罪嫌疑人传达劝返信息，鼓励其主动回国投案自首。对于自首的犯罪嫌疑人，可以根据法律规定给予从轻或减轻处罚的待遇。
四、国际合作与信息共享
加强国际合作：
- 公安部门会与其他国家建立更加紧密的合作机制，共同打击跨国犯罪。通过分享情报信息、协同开展追捕行动等方式，提高追捕效率。
利用科技手段：
- 公安部门会利用现代科技手段，如大数据分析、人脸识别等，追踪犯罪嫌疑人的行踪。同时，加强与国际刑警组织和其他国家执法机构的合作，共享科技资源和成果。
总结：对于逃到国外的犯罪嫌疑人，公安部门会综合运用国际法律合作、国际刑警组织协助、国内法律程序与措施以及国际合作与信息共享等多种途径进行追捕和审判。这需要国际间的法律合作和协调，以及严格的法律程序和证据支持。同时，公安部门也会根据实际情况灵活应对各种挑战和困难，以确保法律的公正实施和犯罪嫌疑人的及时归案。