结论前置：公司合法解雇员工是否需要赔偿，主要取决于解雇的原因和是否符合相关法律法规的规定。具体来说，若员工存在过错，公司合法解雇则无需赔偿；若因公司原因或双方协商一致解除劳动合同，则需支付经济补偿；若公司违法解除劳动合同，则需支付赔偿金。
一、无需支付赔偿或补偿的情形
试用期间不符合录用条件：
- 在试用期内，如果员工被证明不符合录用条件，公司可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿金。但需注意，公司需有明确的录用条件和考核标准，并能提供证据证明员工不符合这些条件。例如，招聘时明确要求员工需具备某项技能或证书，而员工在试用期内未能取得或展示该技能或证书。
严重违反规章制度：
- 如果公司的规章制度经过民主程序制定并公示，且员工的行为确实违反了这些制度中的严重违纪条款（如旷工达到一定天数、盗窃公司财物等），公司有权解除劳动合同，同样无需支付经济补偿金。
严重失职或营私舞弊：
- 员工因严重失职给公司造成重大损害，或营私舞弊导致公司利益受损的，公司可以解除劳动合同，并无需承担赔偿责任。但需确保公司有充分的证据支持其主张，如员工因疏忽导致公司重大经济损失的书面记录或监控录像等。
被依法追究刑事责任：
- 如果员工被依法追究刑事责任，公司可以立即解除劳动合同，且无需支付任何补偿。例如，员工因犯罪被判刑或受到行政处罚等。
其他法定情形：
- 如员工同时与其他用人单位建立劳动关系且对完成本单位工作任务造成严重影响，或经公司提出拒不改正；以及以欺诈、胁迫手段或乘人之危使公司在违背真实意思的情况下订立劳动合同等情形，公司均有权解除劳动合同而无需赔偿。
二、需要支付经济补偿的情形
协商一致解除：
- 公司与员工协商一致解除劳动合同的，公司应根据协商结果支付相应的经济补偿金。补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资作为经济补偿。例如，若劳动者在公司工作了3年且月工资为5000元，则经济补偿金为3×5000=15000元。工作年限六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿。
无过失性解雇：
- 在特定情形下，如劳动者患病或非因工负伤后不能从事原工作或另行安排的工作、劳动者不能胜任工作且经培训或调整岗位后仍不能胜任、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行且未能就变更内容达成协议等，公司在提前三十日以书面形式通知劳动者或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同，并需支付经济补偿金。
经济性裁员：
- 公司因企业破产法规定进行重整、生产经营发生严重困难、转产或重大技术革新等导致需要裁减人员时，若裁减人数达到法定标准，公司在提前向工会或全体职工说明情况并听取意见后，可以裁减人员，并需支付经济补偿金。
三、需要支付赔偿金的情形
- 违法解除劳动合同：
- 若公司无正当理由或违反《劳动合同法》规定单方面解除或终止劳动合同，则需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。例如，若劳动者在公司工作2年且月工资为6000元，正常经济补偿应为2×6000=12000元，而违法解除的赔偿金则为12000×2=24000元。
四、经济补偿与赔偿金的计算
月工资的界定：
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，包括计时工资、计件工资、奖金、津贴、补贴及加班加点工资等货币性收入。若劳动者的月工资高于所在直辖市或设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，则经济补偿金的标准按该三倍数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
计算公式：
- 经济补偿金：\(经济补偿金 = 工作年限 \times 月工资\)（工作年限六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿）。
- 赔偿金：\(赔偿金 = 经济补偿金 \times 2\)。
五、维权途径
- 劳动者在被解雇后对赔偿情况存在疑问或与公司有争议时，应首先尝试与公司进行友好协商。协商不成的，可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。申请劳动仲裁的时效为一年，自劳动者知道或应当知道自己的权益受到损害之日起计算。
综上所述，公司合法解雇员工是否需要赔偿，需根据具体情况及法律法规进行综合判断。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。