您好，关于您提出的“职工出差后能不能请假回老家”的问题，这主要涉及到职工的探亲假以及请销假制度的相关规定。以下是我为您详细梳理的解答：

首先，我们需要明确的是，职工是否享有探亲假以及探亲假的具体天数，是根据国务院发布的《关于职工探亲待遇的规定》来确定的。该规定明确指出，凡在国家机关、人民团体和全民所有制企业、事业单位工作满一年的固定职工，如果与配偶或父母不住在一起，且不能在公休假日团聚的，可以享受探亲假的待遇。具体假期天数根据职工与配偶或父母的关系以及婚姻状况有所不同，例如未婚职工探望父母原则上每年给假一次，假期为二十天；已婚职工探望父母的，每四年给假一次，假期为二十天等。

接下来，我们再来看请销假制度。根据公园办事处的请销假制度及处理办法，职工在因公出差后，如果确实需要请假回老家，这通常被视为事假或探亲假（如果符合探亲假的条件）。请假时，职工需要说明事由，并按照规定的程序进行审批。一般来说，请假天数较少（如1天）的，由主管领导批准；请假天数较多（如3天以上）的，则需要经过更高级别的领导审批。

在您的情况下，如果您已经出差完毕，且确实需要请假回老家探望父母或配偶，且符合探亲假的条件，那么您可以按照探亲假的规定进行请假。如果您的请假不符合探亲假的条件，或者您已经享受了当年的探亲假额度，那么您可以考虑请事假。无论哪种情况，您都需要按照单位的请销假制度，提前向相关领导说明事由，并按照规定的程序进行审批。

最后，我需要提醒您的是，请假期间您的工资待遇可能会受到影响。具体来说，如果您请的是探亲假，那么在规定的探亲假期和路程假期内，您的工资会按照本人的标准工资发放。如果您请的是事假，那么事假期间的工资待遇可能会根据您请假天数的多少以及单位的具体规定而有所不同。

综上所述，职工出差后是可以请假回老家的，但具体是否符合探亲假的条件以及请假期间的工资待遇等问题，需要根据您的具体情况以及单位的相关规定来确定。希望这个解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。