结论：未签劳动合同但建立了劳动关系的情况下，辞退员工是否需要赔偿，取决于辞退的合法性及员工的工作年限。若用人单位违法辞退，需支付赔偿金；若合法辞退，则可能需支付经济补偿金；同时，无论辞退是否合法，因未签劳动合同，用人单位还需支付双倍工资差额。以下是对此问题的详细分析：
一、未签订劳动合同的双倍工资差额
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
计算方式：
- 双倍工资的计算时间从用工之日起满一个月的次日开始，至补订书面劳动合同的前一日或满一年前的最后一日止（最多支付11个月）。
- 计算基数包括劳动者的应得工资，如计时工资、计件工资、奖金、津贴、补贴及加班加点工资等货币性收入。
二、辞退员工的赔偿或补偿
违法辞退：
- 情形：若用人单位无故辞退员工，即没有法定理由辞退劳动者，属于违法辞退。
- 赔偿责任：用人单位需支付赔偿金，即二倍的经济补偿金。具体计算方式为：员工在该单位每工作一年，用人单位需支付两个月工资的赔偿金。工作年限不满半年按半年算，满半年不满一年按一年算。月工资标准为员工最后一个月的工资或劳动合同解除前十二个月的平均工资（以较高者为准）。
合法辞退：
- 情形：若员工存在严重违反用人单位规章制度、严重失职等法定情形，用人单位辞退员工无需支付经济补偿金或赔偿金。但若员工无过错，如因患病或非因工负伤，在规定医疗期满后不能从事原工作等情形，用人单位需提前通知或额外支付一月工资，并按工作年限支付经济补偿金。
- 经济补偿计算方式：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动合同解除前十二个月的平均工资。
三、特殊情况处理
- 视为无固定期限合同：
- 用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同。此时若违法辞退员工，同样需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
四、维权建议
收集证据：
- 员工在维权前应收集能证明劳动关系存在的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录等。
- 同时，应保留公司违规辞退的相关证据，如辞退通知、谈话录音等。
协商沟通：
- 员工可先与公司协商赔偿事宜，明确法律依据和自身权益。
申请仲裁或诉讼：
- 协商不成时，员工可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求支付双倍工资差额和经济补偿/赔偿金。
- 如有必要，员工还可通过诉讼途径来维护自己的合法权益。
举例说明：假设某员工于2023年1月1日入职某公司，双方未签订书面劳动合同，公司于2023年10月1日无故将其辞退。在此情况下，员工可主张从2023年2月1日至2023年9月30日的双倍工资差额，并要求公司支付相当于两个月工资的赔偿金（因工作时间满半年不满一年）。
总结：未签劳动合同但建立了劳动关系的情况下，辞退员工是否需要赔偿，需根据辞退的合法性及员工的工作年限来判断。员工应了解自己的权益，并通过合法途径维护自身利益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。