在司机全责的情况下，赔偿支付顺序需分情况讨论，具体如下：

1. 若司机已购买足额交强险及商业三者险，且损失在保险限额内
   通常由保险公司直接承担赔偿责任，无需司机先行垫付。根据《机动车交通事故责任强制保险条例》第二十一条，保险公司应在责任限额内对第三者人身伤亡、财产损失进行赔偿。若损失未超保险限额，受害方可直接向保险公司索赔，司机无需额外垫付。

2. 若损失超出保险限额，或存在保险免赔情形（如酒驾、逃逸等）
   超出部分需由司机自行承担。此时可能出现两种处理方式：

   • 司机主动垫付：若司机经济能力允许，可先行垫付超出保险部分的费用，后续通过诉讼或协商向保险公司追偿（若免赔情形不成立）；
     
   • 受害方直接起诉：受害方可同时起诉司机和保险公司，要求在保险限额内赔偿，不足部分由司机承担。法院判决后，司机需按判决履行赔偿义务。

3. 紧急医疗费用等特殊情形
   若受害方急需医疗救治，而保险公司理赔流程尚未完成，司机可基于人道主义考虑先行垫付医疗费，但需保留相关凭证（如发票、转账记录），以便后续向保险公司主张权利或通过法律途径追偿。

实务建议：

• 司机应确保车辆保险齐全且足额，避免因保险不足导致个人财产损失；
  
• 发生事故后，及时报警并联系保险公司定损，固定证据；
  
• 若需垫付费用，建议与受害方签订书面协议，明确垫付性质及后续处理方式，减少纠纷风险。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体场景下的处理方案。