结论：在双方都有名誉权纠纷的情况下，对方确实可以在法庭上当庭提出反诉，但需满足一定的条件。

详细分析：

1. 反诉的基本条件：

   • 反诉与本诉的关联性：反诉必须与本诉基于同一法律关系或同一事实而产生，即反诉与本诉之间存在逻辑上的联系。在名誉权纠纷中，如果双方均认为对方侵犯了自己的名誉权，且这种侵权行为是基于相同或相关的事实，那么一方提出本诉后，另一方有权提出反诉。
   • 反诉的独立性：反诉虽然与本诉有关联，但它是一个独立的诉讼请求，具有独立的诉讼标的和诉讼请求。这意味着反诉可以独立存在，不依赖于本诉的成立或撤销。
   • 反诉的提出时机：反诉通常需要在本诉的法庭辩论终结前提出。在名誉权纠纷的庭审过程中，如果一方认为对方也侵犯了自己的名誉权，且符合反诉的条件，那么它可以在法庭辩论终结前当庭提出反诉。

2. 当庭反诉的具体操作：

   • 提交反诉状：提出反诉的一方需要向法庭提交反诉状，明确反诉的诉讼请求、事实和理由。反诉状的内容应当与本诉的诉讼请求、事实和理由相区分，但又要体现出两者之间的关联性。
   • 法庭审查：法庭会对反诉状进行审查，判断反诉是否符合法律规定的条件。如果反诉符合条件，法庭会将其与本诉合并审理；如果不符合条件，法庭会驳回反诉请求。
   • 合并审理：在合并审理的情况下，法庭会同时对本诉和反诉进行审理，并作出相应的判决。这有助于节约司法资源，提高审判效率。

3. 注意事项：

   • 证据准备：提出反诉的一方需要准备充分的证据来支持自己的反诉请求。在名誉权纠纷中，证据可能包括书面材料、证人证言、录音录像等。
   • 法律适用：在审理名誉权纠纷时，法庭会依据相关的法律法规和司法解释来作出判决。因此，提出反诉的一方需要了解并熟悉相关的法律规定，以便更好地维护自己的合法权益。
   • 诉讼策略：在提出反诉时，一方需要考虑自己的诉讼策略和目的。反诉不仅可以用于维护自己的名誉权，还可以用于抵消或削弱对方的诉讼请求，从而达到更好的诉讼效果。

建议：

• 如果您在名誉权纠纷中遇到对方当庭提出反诉的情况，不要慌张，要冷静分析反诉的合法性和合理性。
• 准备充分的证据来支持自己的本诉请求和反驳对方的反诉请求。
• 如有需要，可以寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自己的合法权益。

如果您在名誉权纠纷或其他法律领域有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。