针对您提出的“街道办事处打人怎么处理”的问题，这确实是一个涉及法律与行政程序的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：
首先，需要明确的是，街道办事处作为行政机关的一部分，其工作人员在执行公务时应当严格遵守法律法规，尊重并保护公民的合法权益。如果发生街道办事处工作人员打人的情况，这显然是违法的，并且应当受到相应的法律制裁和行政处分。
一、法律层面的处理
行政机关工作人员履行公务时的侵权行为：
- 根据《中华人民共和国国家赔偿法》的规定，如果街道办事处工作人员在履行公务过程中造成公民身体伤害或财产损失，应当按照该法予以处理，并由有关单位对其进行处分。
- 在您提到的案例中，廖主任作为街道办事处负责治安综合治理的国家工作人员，在履行公务时殴打居民，其行为虽然属于履行公务时的侵权行为，但并不直接适用《中华人民共和国治安管理处罚法》的处罚范围（除非其行为超出了公务范畴或造成了严重后果）。不过，这并不意味着其可以逃避法律责任，而是应当根据具体情况，依据相关法律进行相应处理。
刑事责任：
- 如果打人行为造成了居民身体受到轻微或以上伤害，那么打人者可能构成故意伤害罪，需要承担刑事责任。
- 在您提到的案例中，如果廖主任的推搡、击打行为造成了危某身体受到轻微或以上伤害，那么他应当被追究刑事责任。但根据描述，似乎并未达到这一程度，因此主要进行了行政处分。
二、行政层面的处理
党纪和政务处分：
- 对于打人行为，街道办事处或上级行政机关应当对涉事工作人员进行党纪和政务处分，如开除党籍、政务撤职等。
- 在您提到的案例中，廖主任受到了开除党籍、政务撤职的处分，并被降级为管理岗十级，这体现了行政机关对违法行为的严肃处理态度。
辞退或解雇：
- 对于参与打人的其他工作人员（如联防队员），如果他们并非正式公务员，街道办事处可以根据相关规定将其辞退或解雇。
三、受害者的救济途径
投诉与举报：
- 受害者可以向街道办事处或上级行政机关投诉举报打人行为，要求依法处理涉事人员。
- 同时，也可以向当地公安机关报案，要求公安机关依法调查处理。
申请行政复议或提起行政诉讼：
- 如果受害者认为行政机关的处理决定不合法或不合理，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，维护自己的合法权益。
四、建议与预防措施
加强培训与教育：
- 街道办事处应当加强对工作人员的培训与教育，提高他们的法律意识和职业素养，防止类似事件再次发生。
完善监督机制：
- 建立健全内部监督机制，对工作人员的行为进行实时监控和评估，及时发现并纠正违法行为。
增强透明度与公开性：
- 街道办事处应当增强工作的透明度与公开性，及时公开相关信息和处理结果，接受社会监督。
综上所述，街道办事处打人行为应当受到严肃处理，包括法律层面的制裁和行政层面的处分。同时，受害者也有多种救济途径可供选择。为了防止类似事件再次发生，街道办事处应当加强培训与教育、完善监督机制并增强透明度与公开性。希望这些解答能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。