1. 关于能否继续在银行做保洁工作，结论需分情况讨论：

   • 若犯罪记录不影响岗位安全要求：根据《劳动法》及《就业促进法》，用人单位不得以劳动者曾有犯罪记录为由歧视性拒绝录用，除非该岗位属于法律明确禁止有犯罪记录人员从事的范畴（如涉及金融安全、保密等特殊岗位）。银行保洁岗位通常不涉及核心业务或高风险操作，若您丈夫的犯罪类型与岗位无直接关联（如非暴力犯罪、非经济犯罪），且银行未在招聘公告中明确排除有犯罪记录人员，理论上可以继续工作。
   • 若银行内部规定或岗位性质限制：部分银行可能基于内部风控要求，对所有岗位（包括保洁）设置“无犯罪记录”的隐性门槛，或岗位涉及接触客户财物、机密信息等（如保洁需进入金库区域），此时银行可能以“不符合录用条件”为由解除合同。但需注意，银行需证明该限制与岗位必要性直接相关，否则可能涉嫌就业歧视。

2. 关键影响因素分析：

   • 犯罪类型与时间：若犯罪为故意犯罪且情节严重（如涉及盗窃、诈骗等），银行可能更谨慎；若为过失犯罪或情节轻微（如交通肇事），影响较小。此外，犯罪时间距离现在越久（如超过5年），银行顾虑通常越低。
   • 银行政策与合同条款：需查阅您丈夫与银行签订的劳动合同或入职须知，若其中明确约定“有犯罪记录者不得录用”或类似条款，银行可能据此主张解除合同；若无明确约定，则银行单方解除合同的风险较高。
   • 地方性法规差异：部分地区（如深圳）已出台《反就业歧视条例》，明确禁止用人单位因劳动者曾有犯罪记录而拒绝录用（法律另有规定的除外），此类地区对劳动者保护更强。

3. 建议行动步骤：

   • 与银行沟通：首先了解银行拒绝继续录用的具体理由（如岗位风险、内部规定等），要求其出具书面说明。
   • 核查合同与规定：仔细审查劳动合同、入职须知及银行规章制度，确认是否存在对犯罪记录的明确限制。
   • 协商或投诉：若银行理由不充分，可尝试协商解决（如调整岗位）；若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，主张继续履行合同或赔偿。
   • 法律援助：如涉及复杂法律问题（如银行涉嫌就业歧视），可进一步向我咨询具体维权策略。

总结：您丈夫能否继续工作取决于犯罪记录与岗位的关联性、银行内部规定及地方性法规。建议优先与银行沟通并核查合同，必要时通过法律途径维护权益。如有后续问题，可直接向我咨询细节。