将超市偷盗者的头像发网上一般是不合法的，可能涉及民事、行政及刑事责任。以下是对此问题的详细分析：

一、民事责任

1. 隐私权侵犯：根据《中华人民共和国民法典》第一千零三十二条，自然人享有隐私权，任何组织或个人不得非法侵扰、泄露、公开他人隐私。将偷盗者的头像发网上，若未经其同意，可能构成对隐私权的侵犯。
2. 个人信息权益保护：同样依据《中华人民共和国民法典》，个人信息权益受法律保护。头像作为个人信息的一部分，未经允许公开可能侵犯个人信息权益，信息所有者有权要求侵权人承担停止侵害、赔偿损失、赔礼道歉等民事责任。

二、行政责任

1. 散布他人隐私：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条，对于偷窥、偷拍、窃听、散布他人隐私的行为，可处以五日以下拘留或五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。将偷盗者的头像发网上，若被认定为散布他人隐私，将面临上述行政处罚。

三、刑事责任（在特定情况下）

1. 侵犯公民个人信息罪：虽然一般情况下，将偷盗者的头像发网上不构成刑事犯罪，但如果该行为达到情节严重的程度，如多次实施、造成严重后果等，可能构成《中华人民共和国刑法》第二百五十三条之一规定的侵犯公民个人信息罪。此时，将面临三年以下有期徒刑、拘役，并处或单处罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。

四、特殊情况考虑

1. 公共利益与隐私权的平衡：在极少数情况下，如果公开偷盗者的头像是为了维护更大的公共利益，如防止其继续实施犯罪行为、保护公共安全等，且公开行为符合法律规定的程序和条件，可能不构成侵权。但这种情况非常特殊，且需要严格的法律程序和证据支持。
2. 合法取证与公开：如果超市或相关方在合法范围内取证（如通过监控录像获取偷盗者头像），并希望公开以协助警方破案或维护自身权益，也应遵循法律程序，如向警方报案、在法庭上作为证据出示等，而非擅自公开。

建议：

• 避免擅自公开：无论出于何种目的，都不应擅自将偷盗者的头像发网上。这不仅可能侵犯其隐私权和个人信息权益，还可能引发不必要的法律纠纷。
• 寻求法律途径：如果超市或相关方希望追究偷盗者的责任，应通过合法途径进行，如向警方报案、提起民事诉讼等。
• 咨询专业律师：在处理此类问题时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。

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