结论：理发店员工给顾客头发漂断后逃跑，这一行为是否违法需分情况讨论，主要涉及民事赔偿责任的承担以及是否构成刑事犯罪的问题。
一、民事赔偿责任角度
员工责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，员工在执行工作任务过程中造成他人损害的，原则上由用人单位（即理发店）承担侵权责任。但在此案例中，若员工因故意或重大过失导致顾客头发漂断，理发店在承担赔偿责任后，有权向该员工追偿。
- 若员工的行为超出其职权范围，且与执行工作任务无直接关联，那么员工可能需要直接承担对顾客的赔偿责任。
理发店责任：
- 理发店作为用人单位，有义务确保员工具备相应的专业技能和资质，并对其进行必要的培训和管理。若因理发店管理不善或未提供必要的安全措施导致顾客受损，理发店需承担相应的赔偿责任。
- 在员工逃跑的情况下，理发店仍需先对顾客进行赔偿，之后再根据实际情况向员工追偿。
二、刑事犯罪角度
一般情况下不构成刑事犯罪：
- 员工给顾客头发漂断的行为，通常属于民事侵权范畴，不构成刑事犯罪。除非该行为同时满足其他犯罪构成要件，如故意毁坏财物罪等，但这种情况较为罕见。
逃跑行为的法律性质：
- 员工在造成损害后逃跑，这一行为本身并不直接构成刑事犯罪。然而，如果员工是为了逃避法律责任而逃跑，且该行为导致顾客无法及时获得赔偿或造成其他严重后果，那么员工可能面临更严重的法律后果，如被列入失信被执行人名单等。
- 在极端情况下，如果员工的逃跑行为被认定为“逃逸”且符合相关犯罪构成要件（如交通肇事后的逃逸行为可能构成交通肇事罪），那么员工可能面临刑事指控。但在本案例中，这一情形并不适用。
三、建议与措施
顾客方面：
- 顾客应尽快收集相关证据，如照片、视频、证人证言等，以证明损害事实和因果关系。
- 顾客可以向理发店提出赔偿要求，并协商解决方案。如果协商无果，顾客可以通过法律途径维护自己的合法权益，如向法院提起诉讼。
理发店方面：
- 理发店应积极与顾客沟通，了解损害情况，并尽快提出赔偿方案。
- 理发店应加强对员工的管理和培训，提高员工的专业技能和责任意识，以避免类似事件再次发生。
- 如果员工逃跑，理发店应尽快报警并配合警方调查，同时积极与顾客协商赔偿事宜。
员工方面：
- 员工应认识到自己的错误行为，并尽快返回理发店或与顾客联系，协商赔偿事宜。
- 如果员工确实无法承担赔偿责任，应主动与理发店和顾客沟通，寻求解决方案，而不是选择逃跑。
总结：理发店员工给顾客头发漂断后逃跑的行为，主要涉及民事赔偿责任的承担问题。在大多数情况下，这一行为不构成刑事犯罪。然而，员工和理发店都应积极面对问题，承担相应的责任，并通过合法途径解决纠纷。如果你或他人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。