结论：参与赌博被公安机关行政处罚后，若需给予政务处分，通常不会直接引用《中华人民共和国公职人员政务处分法》第四十条第三款，而是可能依据该法其他条款或结合具体情节、单位规定等综合考量。不过，若赌博行为情节严重，构成违法犯罪，且公职人员因此受到刑事处罚，那么可以依据《中华人民共和国公职人员政务处分法》第四十条第一款的规定给予政务处分。
分析说明：
《中华人民共和国公职人员政务处分法》第四十条的内容：
- 第四十条主要规定了公职人员违法犯罪应受到的政务处分。其中，第一款明确指出，公职人员因犯罪被单处罚金，或者犯罪情节轻微，人民检察院依法作出不起诉决定或者人民法院依法免予刑事处罚的，予以撤职；造成不良影响的，予以开除。若公职人员因赌博构成犯罪并受到刑事处罚，显然符合此款规定，应给予相应的政务处分。
- 第三款则主要针对的是其他违法行为，但并未直接提及赌博。它规定的是公职人员有其他违法行为，影响公职人员形象，损害国家和人民利益的，可以根据情节轻重给予相应政务处分。这一条款较为宽泛，通常不会直接作为对赌博行为给予政务处分的依据，除非赌博行为造成了特别严重的影响或损害。
赌博行为的法律性质：
- 赌博行为在我国通常被视为违法行为，根据情节轻重，可能受到行政处罚或刑事处罚。若赌博行为情节轻微，不构成犯罪，则一般由公安机关给予行政处罚，如罚款、拘留等。
- 若赌博行为情节严重，构成犯罪（如赌博罪），则将受到刑事处罚，如有期徒刑、拘役、管制或罚金等。
政务处分的依据：
- 对于公职人员因赌博行为受到行政处罚或刑事处罚的，其所在单位或相关监察机关应根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》的规定，结合具体情节和单位规定，给予相应的政务处分。
- 政务处分的种类包括警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等，具体应根据违法行为的性质、情节、后果以及公职人员的认错态度等因素综合考量。
特殊场景：
- 若公职人员因赌博行为受到的是行政处罚，且未构成犯罪，那么给予政务处分时可能不会直接引用《中华人民共和国公职人员政务处分法》第四十条第三款，而是会结合单位规定、具体情节以及该行为对公职人员形象和国家、人民利益的影响等因素进行综合考量。
- 若公职人员因赌博行为构成犯罪并受到刑事处罚，则应依据《中华人民共和国公职人员政务处分法》第四十条第一款的规定给予政务处分。
行动建议：
- 对于公职人员而言，应严格遵守法律法规，远离赌博等违法行为，以免对个人职业生涯和家庭造成严重影响。
- 若已因赌博行为受到行政处罚或刑事处罚，并面临政务处分，建议积极配合调查，如实陈述事实，争取从轻或减轻处分。同时，也可咨询专业律师以了解自身权益和可能的法律后果。
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