结论：出租车公司与司机第二年没有签订承包合同，出了交通事故后，出租车公司是否应承担责任，需根据具体情况分析，不能一概而论。以下从不同角度进行详细阐述：
一、承包合同关系与事故责任的一般原则
合同关系存在时的责任：
- 如果出租车公司与司机之间存在有效的承包合同，并且合同中明确规定了双方在交通事故中的责任划分，那么应按照合同约定来处理。
- 通常情况下，承包合同会规定司机在运营过程中发生交通事故时，应承担相应的民事赔偿责任，而出租车公司可能根据合同约定承担部分或全部责任，或者仅承担管理责任。
合同关系不存在或不明确时的责任：
- 如果出租车公司与司机之间没有签订承包合同，或者合同内容不明确、未约定事故责任划分，那么事故责任的处理将更为复杂。
- 在这种情况下，可能需要依据相关法律法规和司法实践来判断出租车公司是否应承担责任，以及承担何种责任。
二、出租车公司可能承担的责任类型
雇主责任：
- 如果出租车公司被认定为司机的雇主（即使没有书面合同，但根据实际用工关系判断），那么根据《中华人民共和国民法典》中关于雇主责任的规定，出租车公司可能需要对司机在执行工作任务过程中造成的损害承担赔偿责任。
- 这包括交通事故中造成的第三方人身伤害或财产损失。
管理责任：
- 出租车公司作为车辆的所有者和管理者，对车辆的安全运营负有管理责任。
- 如果出租车公司未能尽到管理职责，如车辆维护不当、司机培训不足等，导致交通事故发生，那么出租车公司可能需要承担相应的管理责任。
连带责任：
- 在某些情况下，如果出租车公司与司机之间存在共同过错或共同行为导致交通事故发生，那么出租车公司可能需要与司机承担连带责任。
三、具体情境下的责任分析
司机个人过错导致的事故：
- 如果交通事故是由于司机个人的过错（如超速、酒驾、违规变道等）导致的，并且出租车公司没有过错或管理疏忽，那么司机应承担主要或全部责任。
- 但出租车公司仍可能因车辆管理、司机培训等方面的不足而承担一定的管理责任。
出租车公司管理不善导致的事故：
- 如果交通事故是由于出租车公司管理不善（如车辆维护不当、未及时检修、司机资质审核不严等）导致的，那么出租车公司应承担相应的责任。
- 这种责任可能包括直接赔偿责任或与司机共同承担的连带责任。
双方共同过错导致的事故：
- 如果交通事故是由于出租车公司和司机双方的共同过错导致的，那么双方应共同承担责任。
- 责任的划分可能根据双方的过错程度、因果关系等因素来确定。
四、建议与措施
签订明确的承包合同：
- 出租车公司应与司机签订明确的承包合同，并在合同中详细规定双方在交通事故中的责任划分、赔偿方式等条款。
- 这有助于在事故发生时明确责任主体和赔偿方式，减少纠纷和争议。
加强车辆管理和司机培训：
- 出租车公司应加强对车辆的安全管理和维护，确保车辆处于良好的运营状态。
- 同时，应加强对司机的培训和教育，提高司机的安全意识和驾驶技能，减少交通事故的发生。
及时咨询专业律师：
- 在发生交通事故后，出租车公司应及时咨询专业律师，了解自身的法律责任和义务。
- 律师可以根据具体情况提供法律建议和指导，帮助出租车公司妥善处理事故纠纷和赔偿问题。
总结：出租车公司与司机第二年没有签订承包合同，出了交通事故后，出租车公司是否应承担责任需根据具体情况分析。建议出租车公司加强合同管理、车辆管理和司机培训，并在发生事故时及时咨询专业律师以维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。