结论：员工在法院诉讼阶段增加请求要求单位承担一审律师费，法院能否处理取决于多个因素，包括合同约定、法律规定以及案件具体情况等。
分析：
合同约定角度：
- 如果员工与单位之间的劳动合同或相关协议中明确约定了律师费的承担方式，比如约定“因履行本合同发生的争议，双方应协商解决；协商不成的，任何一方均有权向有管辖权的人民法院提起诉讼，且败诉方应承担胜诉方因此产生的律师费等合理费用”，那么员工在诉讼阶段增加要求单位承担一审律师费的请求，法院是有可能支持的。
法律规定角度：
- 在没有合同约定的情况下，员工要求单位承担律师费通常缺乏直接的法律依据。根据一般的法律原则，律师费通常被视为当事人为了维护自身权益而自愿支出的费用，除非法律有特别规定或合同有明确约定，否则一般不由对方承担。
- 然而，也存在一些特殊情况，比如某些特定类型的案件（如知识产权案件、反不正当竞争案件等）中，法律可能明确规定败诉方应承担胜诉方的律师费。但这种情况并不普遍，且需要具体案件具体分析。
案件具体情况角度：
- 即使合同没有明确约定，且法律也没有特别规定，法院在审理案件时也会考虑案件的具体情况。比如，如果单位的行为明显违法或违约，且给员工造成了较大的经济损失，法院可能会根据公平原则或诚实信用原则，酌情判决单位承担部分或全部律师费。
- 另外，如果员工在诉讼过程中能够提供充分证据证明其因单位的行为而不得不支出律师费，且该费用是合理且必要的，法院也可能会考虑支持其请求。
建议：
- 如果员工希望单位承担一审律师费，首先应检查劳动合同或相关协议中是否有相关约定。如果有约定，且符合法律规定的条件，可以在诉讼阶段明确提出该请求。
- 如果没有约定，且法律也没有特别规定，员工可以考虑在诉讼过程中与单位进行协商，看是否能够达成和解或调解协议，由单位自愿承担部分或全部律师费。
- 如果协商无果，且员工认为单位的行为确实违法或违约，且给自己造成了较大损失，可以在诉讼过程中向法院提出该请求，并提供充分证据支持自己的主张。但需要注意的是，法院最终是否支持该请求取决于多种因素，包括案件具体情况、法院的自由裁量权等。
后续行动：
- 员工在提出该请求前，应充分了解相关法律法规和合同约定，评估自己的请求是否有法律依据和合同依据。
- 在诉讼过程中，员工应积极收集证据，证明自己因单位的行为而支出了律师费，且该费用是合理且必要的。
- 如果员工对法院的判决结果不满意，可以在法定期限内提起上诉或申请再审等法律程序来维护自己的权益。
如有任何进一步疑问或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。