业主在面对物业公司因砍伐树木而罚款的情况时，可按以下步骤处理：

1. 核实物业公司罚款的合法性
   首先，业主需要明确物业公司是否有权对砍伐树木的行为进行罚款。根据《中华人民共和国行政处罚法》的规定，只有行政机关（如城市绿化管理部门）才有权实施行政处罚，物业公司作为企业，并不具备行政处罚权。因此，物业公司单方面对业主进行罚款的行为，在法律上可能缺乏依据。

2. 查看小区管理规约或相关合同
   业主应仔细查阅小区的管理规约、物业服务合同或相关绿化管理规定，确认其中是否有关于砍伐树木的具体规定以及相应的处罚措施。如果规约或合同中明确规定了业主不得擅自砍伐树木，并约定了相应的违约责任（如赔偿损失、恢复原状等），但并未授权物业公司进行罚款，那么物业公司以罚款形式追究责任可能超出合同约定范围。

3. 与物业公司沟通协商
   如果业主确实存在砍伐树木的行为，且该行为违反了小区规定或合同约定，建议业主主动与物业公司沟通，说明情况并表达愿意承担相应责任的意愿。双方可以协商确定合理的赔偿或恢复方案，避免矛盾升级。

4. 寻求法律途径解决争议
   如果物业公司坚持要求罚款，且业主认为该罚款行为不合法或不合理，业主可以采取以下法律措施：

   • 向相关部门投诉：业主可以向当地的城市绿化管理部门、房管部门或消费者协会投诉，反映物业公司的不当行为，请求相关部门介入调查并处理。
     
   • 提起民事诉讼：如果物业公司因罚款行为给业主造成了经济损失或名誉损害，业主还可以考虑向法院提起民事诉讼，要求物业公司停止侵权行为、赔偿损失等。

5. 注意保留证据
   在整个处理过程中，业主应注意保留相关证据，如砍伐树木的照片、视频、小区管理规约、物业服务合同、与物业公司的沟通记录等。这些证据将有助于业主在后续的法律程序中维护自己的合法权益。