民事案件原审程序违法，当事人是可以提起再审的。以下是对这一问题的详细解析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，特别是第一百七十七条，第二审人民法院在审理上诉案件时，若发现原判决存在严重违反法定程序的情形，如管辖错误、审判组织组成不合法、应当回避的审判人员未回避、违法缺席判决等，有权裁定撤销原判决，发回原审人民法院重审。这一规定同样适用于再审程序，即如果原审程序存在违法情形，且该违法情形可能影响案件的公正判决，当事人有权申请再审。

二、程序违法的具体情形

在民事案件中，原审程序违法可能涉及多个方面，包括但不限于：

1. 管辖错误：如受理案件的法院违反级别管辖、地域管辖等规定。
2. 审判组织组成不合法：例如，应当组成合议庭审理的案件却由审判员一人独任审理，或合议庭成员不具有审判资格。
3. 应当回避的审判人员未回避：这违反了审判公正的基本原则。
4. 违法缺席判决：如未按照法定送达方式向被告送达开庭传票，导致被告未能参加庭审。
5. 剥夺或限制当事人的诉讼权利：如随意打断当事人陈述、不给予合理辩论时间等。

三、再审的申请与审理

1. 申请再审：当事人认为原审程序存在违法情形，且该违法情形可能影响案件的公正判决时，可以向上一级人民法院申请再审。申请再审时，应提交再审申请书，并附上相关证据材料，以证明原审程序存在违法情形。
2. 再审审理：人民法院在受理再审申请后，将组成合议庭对案件进行重新审理。在再审过程中，人民法院将全面审查原审程序是否违法，以及该违法情形是否对案件的公正判决产生了影响。如果确认原审程序存在违法情形，且该违法情形可能影响案件的公正判决，人民法院将裁定撤销原判决，发回原审人民法院重审，或者直接改判。

四、注意事项与建议

1. 及时申请再审：当事人应在发现原审程序违法后，及时向上一级人民法院申请再审，以免错过申请再审的期限。
2. 充分准备证据：在申请再审时，当事人应充分准备证据材料，以证明原审程序存在违法情形。这些证据材料可以包括庭审记录、法律文书、证人证言等。
3. 关注再审结果：当事人应密切关注再审的审理进度和结果。如果再审法院裁定撤销原判决并发回重审，当事人应积极准备重审工作；如果再审法院直接改判，当事人应认真审查改判结果，并考虑是否需要进一步采取法律措施。

举例说明：假设在一起民事案件中，原审法院在审理过程中违反了法定程序，如未依法送达开庭传票给被告，导致被告未能参加庭审。在这种情况下，被告可以在发现原审程序违法后，及时向上一级人民法院申请再审。如果再审法院确认原审程序存在违法情形，且该违法情形可能影响案件的公正判决，再审法院将裁定撤销原判决，并发回原审人民法院重审。

总之，民事案件原审程序违法时，当事人是有权提起再审的。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。