结论前置：

1. 若员工未到法定延长退休年龄但已到法定退休年龄，且开始依法享受基本养老保险待遇，公司可以依法终止劳动合同，这不属于违法辞退。
2. 若员工未到法定延长退休年龄也未到法定退休年龄，公司一般不能仅因年龄原因辞退员工，否则可能构成违法解除劳动合同。
3. 若员工已到法定退休年龄但未享受基本养老保险待遇，且希望继续工作，公司需根据具体情况和地区司法实践来处理，不能随意辞退。

详细分析：

一、员工达到法定退休年龄且享受基本养老保险待遇的情况

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条和《劳动合同法实施条例》第二十一条的规定，当员工达到法定退休年龄并开始依法享受基本养老保险待遇时，劳动合同即行终止。这是法律规定的劳动关系自然结束的情形，不属于公司违法辞退员工。在这种情况下，公司无需支付经济补偿或赔偿金。

二、员工未到法定退休年龄的情况

如果员工尚未达到法定退休年龄，公司一般不能仅因年龄原因辞退员工。根据《劳动合同法》的相关规定，公司解除劳动合同必须符合法定解除情形，如员工严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等。若公司无正当理由辞退员工，则构成违法解除劳动合同，需要向员工支付赔偿金，赔偿金标准为经济补偿标准的二倍，具体计算方式依据员工在本单位工作的年限来确定（每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿）。

三、员工达到法定退休年龄但未享受基本养老保险待遇的情况

1. 部分地区认定劳动关系终止：在一些地区，依据《劳动合同法实施条例》第二十一条，劳动者达到法定退休年龄时，劳动合同即终止，无论其是否享受基本养老保险待遇。但这种情况下，如果员工因社保问题未能享受养老保险待遇，且希望继续工作，公司直接终止劳动关系可能会引发争议。

2. 部分地区认定劳动关系继续存在：在另一些地区，仅以达到法定退休年龄为由并不能直接终止劳动合同。如果员工未享受基本养老保险待遇，双方劳动关系依然存续。此时，若公司希望解除劳动合同，必须符合《劳动合同法》规定的合法解除情形，否则将构成违法解除，需要支付赔偿金。

四、后续工作安排建议

若员工在达到法定退休年龄后仍希望在公司继续工作，且公司同意，双方可以协商签订新的劳务合同或其他协议。此时，双方建立的是劳务关系而非劳动关系，相关权利义务将按照劳务合同的约定执行。这有助于明确双方的权利和义务，避免潜在的法律纠纷。

总结与建议：

在处理员工退休与劳动合同终止的问题时，公司应充分考虑员工的养老保险待遇情况以及所在地区的司法实践。对于未到法定延长退休年龄的员工，公司不能随意辞退；对于已到法定退休年龄但未享受基本养老保险待遇的员工，公司应根据具体情况和地区司法实践来处理，确保合法合规。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。