转办不办申请督办的法律依据主要涉及行政监督和行政效能提升的相关规定，具体可从以下角度分析：

1. 《中华人民共和国行政监察法》（已废止，但部分原则延续至《中华人民共和国监察法》）
   原《行政监察法》第六条规定，监察机关依法对行政机关及其公务员的行政行为进行监督检查，对效率低下、推诿扯皮等行为可提出监察建议或作出监察决定。虽然该法已废止，但其关于行政监督的核心原则（如督促行政机关依法履职）已被《监察法》吸收，成为督办制度的法理基础之一。

2. 《中华人民共和国政府信息公开条例》与行政效能相关规定
   若转办事项涉及政府信息公开或行政服务效率，可依据《政府信息公开条例》第六条（要求行政机关及时、准确地公开信息）及地方性行政效能法规（如《XX省行政效能监察办法》），主张督办是监督行政机关履行法定职责、避免不作为或拖延的手段。

3. 《中华人民共和国行政复议法》及信访相关法规
   若转办不办导致申请人权益受损，申请人可通过行政复议或信访途径救济。此时，督办可视为上级机关对下级机关的内部监督机制，其依据包括：

   • 《行政复议法》第三条（行政复议机关履行监督职责）；
     
   • 《信访条例》第七条（各级人民政府、县级以上人民政府工作部门对信访事项的督办责任）。

4. 地方性法规或部门规章
   部分地方政府或部门会制定具体规则，明确督办的适用情形和程序。例如，《XX市行政机关督办工作办法》可能规定：“对转办后超过规定期限未办结的事项，承办单位需说明理由；无正当理由的，督办机关可责令限期整改。”

实务建议：

• 若需主张督办，建议优先查找转办事项所属领域的专项法规（如环保、税务等领域的督办规定）；
  
• 若无专项规定，可结合行政效能、政府信息公开等一般性法规，强调督办的合法性与必要性；
  
• 督办程序通常需书面形式，并留存转办、催办、反馈等环节的证据，以备后续争议时使用。
  

如有具体场景或文件，可进一步分析适用条款。