结论：邻居不交物业费，让物业砍掉您家花园的树作为交换条件，这一做法是不可行的，且可能涉及违法侵权。
分析如下：
物业费缴纳与物业服务的关系：
- 物业费是业主为享受物业服务而支付的费用，物业服务包括但不限于公共区域的清洁、绿化、安保等。
- 业主不交物业费，物业有权通过合法途径追讨，如发送催缴通知、提起诉讼等，但无权采取非法手段进行报复或威胁。
物业砍树行为的合法性：
- 花园中的树属于您的私有财产，物业无权擅自砍伐。
- 即使树位于公共区域或影响公共安全，物业也应先与您沟通，并按照相关法律法规和物业管理规定进行妥善处理，而非直接砍伐。
- 擅自砍伐他人树木可能构成故意毁坏财物罪，需承担刑事责任；同时，您也有权要求物业赔偿因此造成的损失。
邻居行为的法律性质：
- 邻居以不交物业费为条件，要求物业砍掉您家的树，这一行为本身不具有合法性。
- 邻居无权干涉物业费的缴纳问题，更无权要求物业采取非法手段损害您的权益。
- 如果邻居的行为给您造成了损失，您有权要求邻居承担赔偿责任。
法律建议：
- 与物业沟通：首先，您可以与物业进行沟通，了解他们为何会采取这样的行动，并明确告知他们砍树行为的违法性。要求物业立即停止侵权行为，并恢复原状或赔偿损失。
- 与邻居协商：同时，您也可以尝试与邻居进行协商，了解他们不交物业费的原因，并寻求合理的解决方案。如果邻居的行为确实给您造成了困扰或损失，您可以要求邻居承担相应的责任。
- 寻求法律援助：如果物业或邻居拒绝承担责任，您可以考虑寻求法律援助。您可以向当地房管部门投诉物业的违法行为，或者向法院提起诉讼，要求物业和邻居赔偿您的损失。
可能法律后果：
- 如果物业擅自砍伐您家的树，您有权要求物业赔偿因此造成的损失，包括树木的价值、修复费用等。
- 如果邻居的行为构成侵权或犯罪，您也有权要求邻居承担相应的法律责任，包括赔偿损失、承担刑事责任等。
总之，邻居不交物业费并不能成为物业砍掉您家花园树的合法理由。您应该积极维护自己的合法权益，与物业和邻居进行沟通协商，并在必要时寻求法律援助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。