关于孩子在学校被打住院时，是第三方先给钱还是自己先付的问题，这主要取决于具体情况和责任归属。以下是从不同角度进行的分析：

1. 如果打人者或其监护人愿意承担责任并先行支付：

   • 在这种情况下，通常是由打人者或其监护人（如果打人者是未成年人）来承担医疗费用。他们可能会主动与受害者家庭联系，协商支付事宜，或者通过学校、警方等第三方机构进行调解和支付。
   • 建议：如果打人者或其监护人愿意承担责任，受害者家庭可以与其协商支付方式和金额，并保留好相关证据（如医疗费用发票、支付记录等），以便后续可能的法律程序。

2. 如果打人者或其监护人不愿意承担责任或无法联系：

   • 在这种情况下，受害者家庭可能需要先自行支付医疗费用，以确保孩子得到及时的治疗。
   • 后续行动：受害者家庭可以收集相关证据（如医疗记录、证人证言、监控录像等），向学校、警方报案，并考虑通过法律途径追究打人者或其监护人的责任，要求赔偿医疗费用和其他相关损失。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果打人者是未成年人，则由其监护人承担赔偿责任。

3. 如果学校存在过错或未尽到管理职责：

   • 如果学校在事件发生过程中存在过错或未尽到管理职责（如未及时发现并制止打人行为、未提供必要的安全保障等），学校也可能需要承担一定的责任。
   • 建议：在这种情况下，受害者家庭可以与学校协商赔偿事宜，或者通过法律途径追究学校的责任。学校作为教育机构，有义务保障学生的人身安全，如果未能履行这一义务，应当承担相应的法律责任。

总结与建议：

• 在孩子被打住院的情况下，首先关注的是孩子的治疗和康复。如果打人者或其监护人愿意承担责任并先行支付，那是最理想的情况。
• 如果打人者或其监护人不愿意承担责任或无法联系，受害者家庭可能需要先自行支付医疗费用，并保留好相关证据，以便后续通过法律途径追究责任。
• 同时，也要考虑学校是否存在过错或未尽到管理职责的情况，如果存在，可以与学校协商赔偿事宜或通过法律途径解决。

最后提醒：每个案件的具体情况都有所不同，因此在处理此类事件时，建议受害者家庭根据实际情况咨询专业律师（即我本人，蒋玉杰律师，专注于刑事辩护、经济纠纷、婚姻家庭、合同纠纷领域），以便获得更具体、更专业的法律建议。