结论：是否需要重新签订合同，取决于双方协商的结果以及合同的具体条款和性质。以下从不同角度进行分析：
一、合同变更的合法性
双方协商一致：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同双方当事人协商一致，可以变更合同。因此，如果双方就追加预算和合同金额的调整达成一致意见，那么可以通过签订补充协议或者重新签订合同的方式来变更原合同。
合同条款的灵活性：如果原合同中已经预留了变更合同金额或预算的条款，或者双方约定了可以因特定情况（如市场变化、成本增加等）调整合同金额，那么在这种情况下，双方可以依据合同条款进行变更，而无需重新签订合同。但通常，即使合同中有此类条款，也建议通过书面形式（如补充协议）来确认变更内容，以避免未来可能出现的纠纷。
二、重新签订合同的必要性
合同金额的重大变更：如果追加的预算导致合同金额发生重大变化，且这种变化超出了原合同所能涵盖的范围，那么重新签订合同可能更为合适。这有助于明确双方的权利和义务，避免未来因合同金额不明确而产生的纠纷。
合同性质的改变：如果追加预算导致合同性质发生根本性变化（例如，从简单的买卖合同变为复杂的承揽合同），那么重新签订合同是必要的。因为合同性质的改变可能涉及不同的法律条款和责任分配，需要通过新的合同来明确。
三、实际操作建议
评估变更影响：在决定是否重新签订合同之前，双方应评估追加预算对合同履行、成本、利润等方面的影响。这有助于双方更全面地了解变更的必要性和可行性。
协商变更方式：如果双方决定变更合同金额或预算，应协商确定变更方式（如签订补充协议或重新签订合同）以及变更后的具体条款。在协商过程中，双方应充分沟通、明确各自的权利和义务，以确保变更后的合同能够顺利履行。
书面确认变更：无论双方选择哪种变更方式，都应通过书面形式来确认变更内容。这有助于避免未来可能出现的口头协议纠纷，并作为双方履行合同的依据。
后续行动建议：如果您和对方已经就追加预算和合同金额的调整达成一致意见，但不确定是否需要重新签订合同，建议您先仔细审查原合同的条款和性质，评估变更的影响和必要性。然后，与对方协商确定变更方式，并通过书面形式来确认变更内容。如果您在操作过程中遇到任何法律问题或困惑，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。