结论：合同以私人名义签订，发票能否开公司名需分情况讨论，主要取决于业务实质、税务合规性及合同相对性原则，具体如下：
- 若业务实质为公司行为，且符合税务合规要求，发票可开公司名
根据《发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务的单位或个人，应向付款方开具发票。若实际业务由公司承担（如公司委托个人签订合同、公司支付款项、公司享受服务），即使合同以个人名义签订，只要满足以下条件，发票可开公司名：
- 业务实质匹配：需证明业务实际由公司开展（如公司付款记录、服务成果归属公司、公司内部审批流程等）；
- 税务合规性：公司需将该笔支出纳入账目，并确保发票内容与业务一致（如服务名称、金额等）；
- 合同补充说明：建议通过补充协议或书面说明，明确合同权利义务实际由公司承担，避免税务风险。
风险点：若无法证明业务实质为公司行为，税务机关可能认定发票与业务不符，导致公司无法税前扣除，甚至面临补税、罚款风险。
若业务实质为个人行为，发票不可开公司名
若合同以个人名义签订，且业务实际由个人完成（如个人提供劳务、个人购买商品），发票抬头必须为个人。此时若强行开具公司名发票，可能涉及以下问题：
- 虚开发票风险：根据《刑法》第二百零五条，虚开发票（如为他人、为自己开具与实际经营业务情况不符的发票）可能构成犯罪，最高可处七年有期徒刑；
- 税务违规：公司若用个人发票入账，可能被税务机关认定为“取得不合规发票”，导致无法税前扣除，甚至被要求补缴企业所得税及滞纳金。
实务建议
- 优先以公司名义签订合同：若业务实际由公司承担，建议直接以公司名义签订合同，避免后续发票开具问题；
- 补充协议明确权利义务：若已以个人名义签订合同，可通过补充协议明确公司为实际受益方，并留存付款记录、服务成果交付等证据；
- 咨询税务机关：涉及大额交易或复杂业务时，建议提前向当地税务机关咨询，确保发票开具符合规定。
总结：合同以私人名义签订时，发票能否开公司名需结合业务实质、税务合规性综合判断。若您有具体业务场景或合同条款，可进一步向我咨询，我会结合细节为您分析风险点及解决方案。