结论：一审驳回诉讼请求后，当事人通常有权在法定上诉期限内向上一级人民法院提起上诉。不过，具体能否上诉还需根据驳回的具体形式（是裁定驳回起诉还是判决驳回诉讼请求）以及案件所处的审判阶段和性质来综合判断。
一、裁定驳回起诉的情况
上诉权利：
- 在一审民事诉讼或行政诉讼中，若人民法院作出裁定驳回起诉，当事人（通常是原告）有权根据《中华人民共和国民事诉讼法》第一百五十七条和第一百七十一条，或《中华人民共和国行政诉讼法》第五十一条的规定，在裁定书送达之日起十日内向上一级人民法院提起上诉。
上诉流程与要求：
- 当事人需准备上诉状，明确上诉请求及理由，并提交上诉状副本及相关证据材料。
- 上诉状应包含基本信息、原审法院名称、案件编号和案由等关键内容。
上诉结果：
- 上一级人民法院将全面审查案件事实、证据和法律适用情况。
- 如原裁定存在错误，上一级法院可能撤销原裁定，指令原审法院审理或直接进行审理并依法判决。
被告的地位与权利：
- 驳回起诉的裁定主要针对原告的起诉行为，被告通常不是该裁定的直接相对人，因此被告通常没有权利对这个裁定提起上诉。
- 如果被告认为法院的裁定有误，可以通过其他途径提出异议或申请复议，但这并不等同于上诉。
二、判决驳回诉讼请求的情况
上诉权利：
- 当一审法院判决驳回诉讼请求时，当事人（无论是原告还是被告，若对判决结果不服）均有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。
上诉目的与审查过程：
- 上诉的主要目的是请求上一级人民法院对原判决进行重新审查，以纠正可能存在的认定事实错误、适用法律错误或程序违法等问题。
- 上诉过程中，上一级法院将对一审判决进行全面审查，包括事实认定、法律适用以及程序等方面。
上诉结果的可能性：
- 维持原判：如果认为一审判决认定事实清楚、适用法律正确、程序合法。
- 依法改判：如果发现一审判决存在错误。
- 撤销原判发回重审：如果认为一审判决存在严重程序违法或事实不清等问题。
三、特殊情况与后续救济途径
二审或一审终审案件：
- 在二审法院作出的驳回起诉裁定中，由于我国实行两审终审制，该裁定为终审裁定，一经送达即发生法律效力，不得再上诉。
- 在特定的小额诉讼程序等一审终审案件中，若法院作出驳回起诉裁定，通常也不得上诉。
后续救济途径：
- 若当事人在上诉期限内未提起上诉，或上诉被驳回后无新证据和理由，可考虑通过其他法律途径维护权益，如申请再审、提起申诉或寻求和解等。
四、实际操作建议
- 充分了解上诉权利与条件：在决定是否上诉前，当事人应充分了解上诉的权利、条件、目的及其他救济途径。
- 咨询专业律师：虽然这里我作为徐茂辉律师已经给出了详细的解答，但每个案件的具体情况都有所不同，因此在实际操作中，建议当事人咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
- 准备充分材料：为了支持上诉请求，当事人需要准备充分的证据和法律依据，包括一审判决书、相关证据材料、法律条文及司法解释等。
综上所述，一审驳回诉讼请求后能否上诉，需根据驳回的具体形式以及案件所处的审判阶段和性质来综合判断。当事人在决定上诉前，应仔细了解相关法律法规及上诉流程，并充分准备上诉材料和证据，以提高上诉成功率。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。