关于您提出的“户主继子对断母（这里我理解为是继母，且继母与生父已离婚的情况）是否有监护权”的问题，我们需要从法律的角度进行详细分析。

首先，我们要明确的是，父母对未成年子女的监护权是法定权利，这一权利并不因父母之间婚姻关系的解除而受到影响。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母是未成年人的监护人，他们负有抚养、教育和保护未成年子女的义务。

接下来，我们针对继子与继母的关系进行具体分析：

1. 继子与继母未形成抚养关系：

   • 如果继子与继母之间并未形成实际的抚养关系，即继母并未对继子进行过抚养、教育或保护，那么在继母与生父离婚后，继子通常不会对继母负有监护义务，同样，继母也不享有对继子的监护权。

2. 继子与继母形成了抚养关系：

   • 如果继子与继母之间形成了实际的抚养关系，即继母对继子进行了抚养、教育或保护，那么根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十二条第二款的规定，“继父或者继母和受其抚养教育的继子女间的权利义务关系，适用本法关于父母子女关系的规定”。这意味着，在这种情况下，继母与继子之间的权利义务关系与亲生父母子女之间的关系是相似的。
   • 然而，即便形成了抚养关系，当继母与生父离婚后，继子是否仍然对继母负有监护义务（或反之），这并非一个简单的问题。因为监护权的确定通常基于多种因素，包括但不限于子女的年龄、健康状况、经济状况以及双方的意愿等。在大多数情况下，离婚后，未成年子女的监护权会归属于直接抚养子女的一方（通常是生父或生母），除非有特殊情况（如直接抚养方无法履行监护职责等）。
   • 对于继子来说，除非他/她自愿并有能力承担对继母的监护责任，并且这一安排符合被监护人（继母）的最佳利益，否则继子通常不会自动获得对继母的监护权。同样，继母在离婚后也通常不会自动保留对继子的监护权，除非她仍然是直接抚养子女的一方或存在其他特殊情况。

3. 特殊情况：

   • 如果继母因年老、疾病或其他原因无法独立生活，且继子作为有负担能力的成年人愿意并能够提供必要的监护和照顾，那么双方可以通过协商或法律程序来确定继子的监护责任。但这并非基于继子与继母之间的原始抚养关系，而是基于继子作为成年人的道德和法律义务。

综上所述，户主继子对断母（继母）通常不享有法定的监护权，除非存在特殊情况且符合相关法律规定。在大多数情况下，监护权的确定会基于子女的最佳利益和双方的实际情况进行综合考虑。如果您或您身边的人面临类似问题，建议咨询专业律师以获取更具体和个性化的法律建议。