结论前置：劳务派遣合同到期后，若公司不续签，解除劳动合同时，公司应当出具解除劳动合同的证明。
详细分析
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条：“用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。”这一条款明确规定了用人单位在解除或终止劳动合同时，有义务出具相应的证明。
劳务派遣的特殊性：
- 在劳务派遣关系中，虽然劳动者与劳务派遣单位签订劳动合同，但实际用工单位是接受劳务派遣的单位。然而，当劳动合同到期，且用工单位决定不续签时，这一解除劳动合同的行为仍然是由劳务派遣单位（即与劳动者签订合同的单位）来执行的。因此，出具解除劳动合同证明的义务仍然落在劳务派遣单位身上。
证明的内容与作用：
- 解除劳动合同的证明通常应包含劳动者的基本信息、劳动合同期限、解除或终止劳动合同的日期、工作岗位以及在本单位的工作年限等内容。这份证明对于劳动者来说非常重要，它是劳动者办理失业登记、领取失业保险金、以及寻找新工作时证明自己工作经历和离职原因的重要依据。
若公司不出具证明的法律后果：
- 如果劳务派遣单位拒绝或拖延出具解除劳动合同的证明，劳动者有权向劳动行政部门投诉，劳动行政部门将责令其改正。若因此给劳动者造成损害的，劳务派遣单位还应当承担赔偿责任。
建议与行动
- 与公司沟通：首先，你可以尝试与公司（即劳务派遣单位）进行沟通，明确要求其出具解除劳动合同的证明。
- 保留证据：如果公司拒绝出具证明，你应保留好与公司沟通的记录（如邮件、短信、聊天记录等），以备后续维权之需。
- 寻求法律帮助：如果公司仍然拒绝出具证明，或者因此给你造成了损失，你可以考虑寻求法律帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。
总结：劳务派遣合同到期后，若公司不续签，解除劳动合同时，公司应当出具解除劳动合同的证明。这是公司的法定义务，也是保障劳动者权益的重要措施。如果你遇到公司拒绝出具证明的情况，不要慌张，可以通过沟通、保留证据、寻求法律帮助等方式来维护自己的权益。有问题可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。