全责赔偿申请最快的方式是及时收集证据、与对方或保险公司协商，协商不成则迅速启动法律程序。以下是具体步骤和注意事项：

1. 及时收集并固定证据
   这是申请赔偿的基础。需收集的证据包括：事故现场照片、视频、证人联系方式、医疗记录（如病历、发票）、财产损失证明（如维修发票、评估报告）、交警出具的事故责任认定书等。若涉及人身伤害，还需保留误工证明、护理费发票等。证据越充分，赔偿申请的推进速度越快。

2. 与对方或保险公司协商
   若对方全责且态度积极，可直接与其或其保险公司协商赔偿方案。协商时需明确赔偿项目（如医疗费、误工费、财产损失等）及金额，并要求对方书面确认。若对方是保险公司，可依据《保险法》要求其在30日内核定赔偿金额（复杂案件可延长至60日），核定后需在10日内履行赔偿义务。协商成功可快速解决，但需注意保留协商记录（如聊天记录、录音）以防反悔。

3. 向调解组织申请调解
   若协商未果，可向当地人民调解委员会、交通事故调解委员会等申请调解。调解具有效率高、成本低的特点，通常可在1-2个月内完成。调解成功后，双方需签订调解协议，该协议具有法律约束力，若一方不履行，另一方可直接申请法院强制执行。

4. 向法院提起诉讼
   若调解失败或对方拒绝赔偿，需向法院提起民事诉讼。起诉时需提交起诉状、证据材料（如事故认定书、医疗记录等）及对方身份信息。法院受理后，简易程序通常在3个月内审结，普通程序为6个月。判决生效后，若对方不履行，可申请强制执行（如查封财产、冻结账户等）。诉讼虽耗时较长，但具有强制执行力，是保障权益的最后手段。

注意事项：

• 申请赔偿需在法定时效内进行。人身伤害赔偿的诉讼时效为3年（自知道或应当知道权利受损之日起算），财产损失赔偿的诉讼时效同样为3年。
  
• 若对方拒不赔偿，可申请先予执行（如急需医疗费时）或财产保全（防止对方转移财产）。
  
• 赔偿项目需符合法律规定，如误工费需提供收入证明，护理费需提供护理协议及发票等。
  

若在申请过程中遇到具体问题（如证据收集困难、对方拒不配合等），可直接向我咨询，我会结合具体情况提供详细指导。