结论：当您购买的鞋子存在质量问题而商家拒绝退货时，您可以通过与商家协商、向平台或消费者协会投诉、行政投诉与监管以及法律途径等多种方式来维护自己的合法权益。

详细分析：

1. 与商家协商

   • 保留证据：首先，您需要收集并保留好所有能证明鞋子质量问题的证据，如清晰的照片、视频以及购物凭证（发票、收据、订单截图等）。这些证据将在后续的协商、投诉或法律程序中起到关键作用。
   • 明确表达诉求：以平和、理性的态度向商家说明鞋子的具体问题，如开胶、断底、严重磨脚等，并明确提出退货的要求。同时，您可以提及《中华人民共和国消费者权益保护法》中关于商品质量保障和消费者公平交易权的相关规定，以增强您的说服力。

2. 向平台或消费者协会投诉

   • 电商平台投诉：如果您是在线上购买鞋子，可以利用电商平台的投诉机制。在投诉时，详细说明情况并上传证据，请求平台介入处理。电商平台通常有专门的客服团队负责处理此类纠纷，他们会根据平台规则和法律法规进行调解。
   • 消费者协会投诉：您还可以拨打12315消费者投诉举报专线或通过全国12315平台进行投诉。在投诉时，提供详细的信息及证据，消费者协会会协助您与商家进行调解，并可能根据调解结果给出处理建议。

3. 行政投诉与监管

   • 向市场监督管理部门投诉：对于严重质量问题或商家拒不配合的情况，您可以向当地市场监督管理局投诉。市场监督管理局有权对商家的经营行为进行调查，并可能采取行政措施，如罚款、责令整改等，以维护市场秩序和消费者权益。

4. 法律途径

   • 发送律师函：如果上述方法均未能解决问题，您可以考虑委托律师发送律师函给商家。律师函是一种正式的法律警告，其中会指出商家的违法行为及可能的法律后果，促使商家主动解决问题。
   • 申请仲裁或提起诉讼：
     • 仲裁：如果双方有仲裁协议，您可以按协议向指定仲裁机构提请仲裁。仲裁结果具有法律约束力，且仲裁程序相对简便、快捷。
     • 诉讼：若无仲裁协议或仲裁不成，您可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，您需要提交充分的证据来证明鞋子存在质量问题以及商家的拒绝退货行为。法院将依法进行审理，并作出判决。

注意事项：

• 在整个维权过程中，您需要保持冷静、理性，避免与商家发生不必要的冲突。
• 无论采取哪种方式维权，都要确保有相关证据的完整保存。这些证据将是您维权成功的关键。
• 了解并熟悉《中华人民共和国消费者权益保护法》等相关法律法规，明确自身权利和商家的义务，为维权提供法律依据。

总结：面对鞋子质量问题且商家拒绝退货的情况，您应通过协商、投诉、行政手段和法律途径等多种方式综合施策，以确保自身合法权益得到有效维护。在整个过程中，保持冷静、理性，并充分利用法律武器来捍卫自己的权益是至关重要的。如果您有任何法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。