购买的鞋子出现质量问题而商家拒绝退货时，您可以通过以下步骤来维护自己的合法权益：

1. 与商家协商

   • 保留证据：首先，您需要收集并保留好所有能证明鞋子质量问题的证据，如清晰的照片、视频，以及购物凭证（如发票、收据、订单截图等）。这些证据在后续的协商、投诉或法律程序中都将起到关键作用。
   • 明确表达诉求：以平和、理性的态度向商家说明鞋子的具体问题，如开胶、断底、变形等，并明确提出退货的要求。同时，您可以提及《中华人民共和国消费者权益保护法》中关于消费者有权要求退货的相关规定，以增强您的说服力。

2. 向平台或消费者协会投诉

   • 电商平台投诉：如果您是在线上购买鞋子，可以利用电商平台的投诉机制。详细说明情况并上传证据，请求平台介入处理。电商平台通常会有专门的客服团队来处理此类纠纷，他们会根据您提供的证据和商家的反馈进行调解。
   • 消费者协会投诉：如果电商平台未能解决问题，您可以拨打12315消费者投诉举报专线或通过全国12315平台进行投诉。提供详细的信息及证据，消费者协会会协助您与商家进行调解，并可能对商家进行相应的处罚。

3. 行政投诉与监管

   • 向市场监督管理部门投诉：对于严重质量问题或商家拒不配合的情况，您可以向当地市场监督管理局投诉。市场监督管理局有权对商家的经营行为进行调查，并可能采取行政措施，如罚款、责令整改等，以保护消费者的合法权益。

4. 法律途径

   • 发送律师函：如果商家仍然拒绝退货，您可以考虑委托律师发送律师函给商家。律师函会指出商家的违法行为及可能的法律后果，促使商家主动解决问题。
   • 申请仲裁或提起诉讼：
     • 如果您与商家之间有仲裁协议，可以按照协议向指定的仲裁机构提请仲裁。仲裁结果具有法律约束力，商家必须履行。
     • 如果没有仲裁协议或仲裁不成，您可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，您需要提交充分的证据来证明鞋子存在质量问题以及商家拒绝退货的事实。法院将依法判决，保护您的合法权益。

在处理此类纠纷时，您还需要注意以下几点：

• 全程保存证据：无论是与商家的沟通记录、投诉过程还是法律程序中的每一步，都要确保有相关证据的完整保存。这些证据将是您维权的重要依据。
• 了解法律法规：熟悉《中华人民共和国消费者权益保护法》等相关法律法规，明确自身权利和商家的义务。这将有助于您在维权过程中更加有理有据。

若您在处理此类纠纷时遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供有针对性的法律建议和帮助。